Seja
. Determine o domínio
, quando
é dada por:
Passo 1
Temos a função f: A → [0,1] dada por f(x) = -x² + x + 2 e queremos que todo f(x) caia no intervalo [0,1]. Isso significa achar A = { x ∈ ℝ | 0 ≤ f(x) ≤ 1 }. Vamos resolver duas inequações simultâneas: uma para f(x) ≥ 0 e outra para f(x) ≤ 1.
Passo 2
Para 0 ≤ f(x) resolvemos
Passo a passo: reorganizamos para obter uma inequação padrão:
Calculamos as raízes da equação x² − x − 2 = 0, que são x = 2 e x = -1. Como o coeficiente de x² é positivo, a parábola abre para cima e a inequação ≤ 0 vale entre as raízes. Logo
Passo 3
Para f(x) ≤ 1 resolvemos
Reescrevendo:
Multiplicando por -1 (e invertendo o sinal da inequação):
As raízes de x² − x − 1 = 0 são x = \frac{1±\sqrt{5}}{2}. Como o coeficiente de x² é positivo, a desigualdade ≥ 0 vale fora do intervalo formado por essas raízes. Assim
ou
Passo 4
Agora fazemos a interseção dos resultados das duas inequações: de um lado x ∈ [-1,2] e de outro x ∈ (-∞, (1-√5)/2] ∪ [(1+√5)/2, ∞). Intersectando, fica
Resposta
A = [-1, \tfrac{1-\sqrt{5}}{2}] \cup [\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}, 2]