Calcule as integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida de
. O conteúdo principal aqui é reconhecer que essa função é a derivada de uma função trigonométrica inversa (arcsin) e usar o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Sabemos que a derivada de $\arcsin(x)$ é $\frac{d}{dx}\arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$. Logo, uma primitiva de $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ é $F(x) = \arcsin(x)$.
Passo 3
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos: $$
\int_{-1/2}^{1/2} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} , dx = F\bigl(1/2\bigr) - F\bigl(-1/2\bigr).
$$
\int_{-1/2}^{1/2} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} , dx = F\bigl(1/2\bigr) - F\bigl(-1/2\bigr).
$$
Passo 4
Agora é só avaliar $F(1/2) = \arcsin(1/2) = \pi/6$ e $F(-1/2) = \arcsin(-1/2) = -\pi/6$, obtendo: $$
\arcsin\bigl(1/2\bigr) - \arcsin\bigl(-1/2\bigr) = \frac{\pi}{6} - \bigl(-\frac{\pi}{6}\bigr) = \frac{\pi}{3}.
$$
\arcsin\bigl(1/2\bigr) - \arcsin\bigl(-1/2\bigr) = \frac{\pi}{6} - \bigl(-\frac{\pi}{6}\bigr) = \frac{\pi}{3}.
$$