Calcule a área
, onde
é parte do plano
, no interior do cilindro de equação
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde
é a parte do plano
que está dentro do cilindro
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais de superfícies, usando um pouco de geometria analítica e coordenadas polares para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região sobre a qual vamos integrar. O cilindro
é um cilindro circular com raio 2. Isso significa que nossa região de integração é o disco de raio 2 no plano
.
Passo 3
Como estamos lidando com simetria circular, é mais fácil usar coordenadas polares. Vamos fazer a mudança de coordenadas:
onde
varia de 0 a 2 e
varia de 0 a
.
Passo 4
Agora, precisamos expressar a função
em coordenadas polares:
Legal, isso simplifica nossa expressão.
Passo 5
Precisamos também determinar o elemento de área na superfície,
. Para um plano dado por
, o elemento de área é:
No nosso caso,
, então as derivadas parciais são:
Então:
Passo 6
Convertendo
para coordenadas polares, sabemos que:
Portanto, o elemento de área fica:
Passo 7
Agora, substituímos tudo na integral original:
Onde
é o disco de raio 2.
Passo 8
Vamos integrar em coordenadas polares:
Primeiro, integramos em
:
Passo 9
Agora, integramos em
:
Resposta
A área da integral é
.