Calcule a área integral duplaS(x^2+y^2) d S, onde S é parte do plano z=x+y, no interior do cilindro de equação x^2+y^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaS(x^2+y^2) d S, onde S é a parte do plano z = x + y que está dentro do cilindro x^2+y^2=4. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais de superfícies, usando um pouco de geometria analítica e coordenadas polares para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região sobre a qual vamos integrar. O cilindro x^2 + y^2 = 4 é um cilindro circular com raio 2. Isso significa que nossa região de integração é o disco de raio 2 no plano xy.

Passo 3

Como estamos lidando com simetria circular, é mais fácil usar coordenadas polares. Vamos fazer a mudança de coordenadas:
x = r costheta, y = r sintheta
onde r varia de 0 a 2 e theta varia de 0 a 2pi.

Passo 4

Agora, precisamos expressar a função x^2 + y^2 em coordenadas polares:
x^2 + y^2 = r^2
Legal, isso simplifica nossa expressão.

Passo 5

Precisamos também determinar o elemento de área na superfície, dS. Para um plano dado por z = f(x,y), o elemento de área é:
dS = raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , dx, dy
No nosso caso, z = x + y, então as derivadas parciais são:
partial zpartial x = 1, partial zpartial y = 1
Então:
dS = raiz1 + 1^2 + 1^2 , dx, dy = raiz3 , dx, dy

Passo 6

Convertendo dx, dy para coordenadas polares, sabemos que:
dx, dy = r, dr, dtheta
Portanto, o elemento de área fica:
dS = raiz3 , r, dr, dtheta

Passo 7

Agora, substituímos tudo na integral original:
integral duplaS(x^2+y^2) d S = integral duplaD r^2 cdot raiz3 , r, dr, dtheta = raiz3 integral duplaD r^3 , dr, dtheta
Onde D é o disco de raio 2.

Passo 8

Vamos integrar em coordenadas polares:
raiz3 integral0^2pi integral0^2 r^3 , dr, dtheta
Primeiro, integramos em r:
integral0^2 r^3 , dr = [r^44]0^2 = 164 = 4

Passo 9

Agora, integramos em theta:
raiz3 cdot 4 integral0^2pi dtheta = 4raiz3 cdot 2pi = 8piraiz3

Resposta

A área da integral é 8piraiz3.

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