Verificar a convergência das séries
sum 11raiz[3]n(n+1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série de termos positivos sumn=1^infty 11raiz[3]n(n+1). O conteúdo envolvido é teste de séries de p (p-séries) e teste de comparação (limit comparison). Precisaremos identificar o comportamento assintótico de an=11raiz[3]n(n+1) e compará-lo com uma p-série.

Passo 2

Observamos que n(n+1)=n^2(1+1/n), então
raiz[3]n(n+1)=raiz[3]n^2(1+1/n)=n^2/3(1+1/n)^1/3

Passo 3

Logo o termo geral pode ser reescrito como
an=11raiz[3]n(n+1)=11n^2/3(1+1/n)^1/3

Passo 4

Como (1+1/n)^1/3to1 quando ntoinfty, temos para grandes n
ansim11n^2/3

Passo 5

A série sum1/n^2/3 é uma p-série com p=2/3<1, portanto diverge.

Passo 6

Para formalizar, aplicamos o teste de comparação limite com bn=1/n^2/3:
limntoinftyanbn=limntoinfty11/(n^2/3(1+1/n)^1/3)1/n^2/3=limntoinfty11(1+1/n)^1/3=11

Passo 7

Como o limite é um número finito e positivo, ambas as séries convergem ou divergem juntas. Sabendo que sum bn diverge, concluímos que sum an também diverge.

Resposta

A série diverge.

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