Verificar a convergência das séries
sum(n^22 n^2+1)^n

Passo 1

A questão pede pra verificar se a série sumn=1^inftyl(n^22n^2+1r)^n converge ou diverge. O conteúdo principal é teste da raiz para séries e vamos precisar usar a definição de raiz n-ésima de cada termo e o limite associado.

Passo 2

O teste da raiz diz que, se an são os termos da série, devemos calcular L=limntoinftyraiz[n]|an|. Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste falha.

Passo 3

Aqui temos an=l(n^22n^2+1r)^n. Então
raiz[n]|an|=n^22n^2+1

Passo 4

Agora basta tomar o limite quando ntoinfty:
limntoinftyn^22n^2+1=12

Passo 5

Como obtemos L=1/2<1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente, logo converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo teste da raiz).

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