Calcule a área interna a um cardióide, cuja equação polar é dada por r=a(1-cos theta), theta in[0,2 pi].

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a área interna de uma cardioide definida em coordenadas polares por r=a(1-costheta) para theta de 0 a 2pi. O conteúdo aqui é área em coordenadas polares e vamos precisar da fórmula de área usando integrais.

Passo 2

Em coordenadas polares, a área A de uma região limitada por uma curva r(theta) entre theta=theta1 e theta=theta2 vale:
A = 12 integraltheta1^theta2 r^2(theta),dtheta
Aqui, theta1=0, theta2=2pi e r(theta) = a(1-costheta).

Passo 3

Para integrar, primeiro calculamos r^2:
r^2 = a^2(1-costheta)^2 = a^2l(1 - 2costheta + cos^2thetar)
Usamos a identidade cos^2theta = tfrac12(1+cos2theta) para facilitar. Assim, na integral de r^2 surgem três termos: integral0^2pi1,dtheta, integral0^2picostheta,dtheta e integral0^2picos^2theta,dtheta. Vamos calcular cada um.

Passo 4

Calculando:
integral0^2pi1,dtheta = 2pi,
integral0^2picostheta,dtheta = 0,
integral0^2picos^2theta,dtheta = integral0^2pitfrac12(1+cos2theta),dtheta = [tfractheta2 + tfracsin2theta4]0^2pi = pi
Somando, obtemos
integral0^2pi r^2,dtheta = a^2(2pi - 0 + pi) = 3pi a^2

Resposta

A área interna da cardioide é tfrac3pi a^22.

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