Calcule a área interna a um cardióide, cuja equação polar é dada por
.
Passo 1
O enunciado pede pra calcular a área interna de uma cardioide definida em coordenadas polares por
para
de 0 a
. O conteúdo aqui é área em coordenadas polares e vamos precisar da fórmula de área usando integrais.
Passo 2
Em coordenadas polares, a área
de uma região limitada por uma curva
entre
e
vale:
Aqui,
,
e
.
Passo 3
Para integrar, primeiro calculamos
:
Usamos a identidade
para facilitar. Assim, na integral de
surgem três termos:
,
e
. Vamos calcular cada um.
Passo 4
Calculando:
,
,
Somando, obtemos
Resposta
A área interna da cardioide é
.