Seja Gamma o quadrado de vértices em (0,0),(2,0),(2,2) e (0,2). Seja o campo vetorial F(x, y)=(y^2, x). Calcule ointGamma F cdot d r.

Passo 1

O exercício pede para calcular o integral de linha de vec F(x,y)=(y^2,x) ao longo do contorno Gamma, que é o quadrado de vértices (0,0),(2,0),(2,2),(0,2). O conteúdo principal é aplicar o Teorema de Green para converter o integral de linha num integral duplo sobre a região interior ao quadrado.

Passo 2

Pela versão bidimensional do Teorema de Green, temos
ointGamma vec Fcdot dvec r = integral duplaRl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA,
onde P(x,y)=y^2 e Q(x,y)=x. Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x=1,
partial Ppartial y=2y
Logo o integrando é 1-2y.

Passo 3

Agora montamos o duplo integral na região R=[0,2]times[0,2]:
integral duplaR(1-2y),dA = integraly=0^2integralx=0^2(1-2y),dx,dy
Primeiro integramos em x:
integral0^2(1-2y),dx = 2(1-2y)
Então,
integral0^22(1-2y),dy = 2integral0^2(1-2y),dy = 2l[y - y^2r]0^2 = 2(2-4) = -4

Resposta

-4

Exercícios relacionados