Encontre d yd x.
cos (y-x)=x e^y

Passo 1

O exercício pede para encontrar dydx a partir da relação implícita cos(y - x)=x e^y. O conteúdo aqui é derivação implícita e vamos precisar da regra da cadeia para o lado esquerdo e da regra do produto para o lado direito.

Passo 2

Diferenciamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, aplicamos a regra da cadeia: se u=y-x, então ddxcos(u)=-sin(u),u'. Como u'=dydx-1, temos:
ddxcos(y - x)=-sin(y - x)l(dydx-1r)

Passo 3

No lado direito, aplicamos a regra do produto em x e^y:
ddxl(x e^yr)=1cdot e^y+xcdot e^ydydx=e^y+x e^ydydx

Passo 4

Agora igualamos as duas derivadas:
-sin(y - x)l(dydx-1r)=e^y+x e^ydydx

Passo 5

Expandimos o lado esquerdo e reorganizamos para agrupar os termos com dydx:
-sin(y - x)dydx+sin(y - x)=e^y+x e^ydydx

Passo 6

Levamos todos os termos que contêm dydx para o mesmo lado e os restantes para o outro:
-sin(y - x)dydx-x e^ydydx=e^y-sin(y - x)

Passo 7

Colocamos dydx em evidência:
l(-sin(y - x)-x e^yr)dydx=e^y-sin(y - x)

Passo 8

Finalmente, isolamos dydx:
dydx=e^y-sin(y - x)-sin(y - x)-x e^y

Resposta

dydx=e^y-sin(y - x)-sin(y - x)-x e^y

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