Calcule a área sob a curva de funcũo y=e^x sen x no intervalo 0 a tau.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área sob a curva da função y = e^xsin x no intervalo de 0 a tau. Esse problema envolve o conceito de integral definida e aplicação de integração por partes.

Passo 2

A área sob a curva é dada por
integral0^tau e^xsin x,dx
Para resolver, vamos primeiro encontrar a integral indefinida de e^xsin x.

Passo 3

Para calcular a integral indefinida, definimos I = integral e^xsin x,dx e aplicamos integração por partes duas vezes. Primeiro, com u=e^x e dv=sin x,dx, temos du=e^x,dx e v=-cos x, o que leva a
I = -e^xcos x + integral e^xcos x,dx
Em seguida, para integral e^xcos x,dx, escolhemos u=e^x e dv=cos x,dx, resultando em du=e^x,dx e v=sin x, o que dá
integral e^xcos x,dx = e^xsin x - I
Substituindo este resultado em I e resolvendo, obtemos
2I = e^x(sin x - cos x) implies I = e^x2(sin x - cos x) + C

Passo 4

Agora avaliamos a integral definida usando o resultado acima:
integral0^tau e^xsin x,dx = [e^x2(sin x - cos x)]0^tau = e^tau2(sintau - costau) - e^02(sin0 - cos0)
Como sin0 = 0 e cos0 = 1, isso simplifica para:
e^tau(sintau - costau) + 12

Resposta

e^tau(sintau - costau) + 12

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