Determine a medida da geratriz de um cilindro reto, sendo 250 \pi \mathrm{~cm}^{2} a medida de sua área lateral e 10 cm o raio de sua base.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Informação: a área lateral do cilindro é 250\pi\\ \mathrm{cm}^2.
  • Informação: o raio da base do cilindro é 10\\ \mathrm{cm}.
  • Pedido: determinar a medida da geratriz do cilindro (em um cilindro reto, a geratriz coincide com a altura).

Passo 2

Vamos identificar a fórmula que relaciona as quantidades dadas.
A área lateral de um cilindro reto é igual à circunferência da base multiplicada pela altura (ou geratriz). Em símbolos:
A_{L} = \text{(circunferência da base)} \times \text{geratriz}.ê
A circunferência da base de raio r é 2\pi r. Assim a fórmula fica
A_{L} = 2\pi r \, g,
onde A_{L} é a área lateral (em \mathrm{cm}^2), r é o raio da base (em \mathrm{cm}) e g é a geratriz/altura (em \mathrm{cm}).
Explicando com calma: a área lateral é como se desenrolássemos a superfície lateral do cilindro e tivéssemos um retângulo cuja altura é a geratriz g e cuja base é a circunferência 2\pi r. Logo a área desse retângulo é produto dessas duas medidas.

Passo 3

Agora vamos usar os valores do enunciado na fórmula. Substituímos A_{L}=250\pi e r=10:
250\pi = 2\pi \cdot 10 \cdot g.

Passo 4

Isolamos g. Primeiro calculamos 2\pi\cdot 10:
2\pi\cdot 10 = 20\pi.
Então a equação fica
250\pi = 20\pi \, g.

Passo 5

Dividimos ambos os lados por 20\pi para encontrar g. Repare que \pi cancela:
g = \frac{250\pi}{20\pi} = \frac{250}{20}.
Agora simplificamos a fração:
\frac{250}{20} = \frac{25}{2} = 12{,}5.

Passo 6

Interpretando o resultado com unidades: a geratriz (altura) vale 12{,}5\\ \mathrm{cm}. Verificação rápida: se g=12{,}5 então 2\pi r g = 2\pi\cdot 10\cdot 12{,}5 = 20\pi\cdot 12{,}5 = 250\pi, que é exatamente a área lateral dada. Tudo confere.

Resposta

12{,}5\\ \mathrm{cm}

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