1. Considere uma caixa cúbica com 10 cm de aresta cheia de água. Um tronco de pirâmide regular de base quadrada maciço é colocado dentro dela. As bases do tronco têm arestas com 8 cm e 4 cm de comprimento e a altura do tronco é igual a \frac{2}{5} da altura da caixa.
    a) Qual é o volume do tronco de pirâmide?
    b) Qual é o volume de água que ficará na caixa após ser colocado o tronco de pirâmide?

Passo 1

O enunciado dá uma caixa cúbica de aresta 10,cm, cheia de água, e um tronco de pirâmide regular de base quadrada maciço. As bases do tronco têm arestas de 8,cm e 4,cm, e a altura do tronco vale \tfrac{2}{5} da altura da caixa. Precisamos calcular:
a) o volume do tronco de pirâmide;
b) o volume de água que fica na caixa depois de imergi-lo.

Passo 2

Calcular a altura do tronco. Como a altura da caixa é 10,cm, então
h = \frac{2}{5} \times 10 = 4\text{ cm}.

Passo 3

Determinar as áreas das bases quadradas e aplicar a fórmula do volume de um tronco de pirâmide.
A base maior tem lado 8,cm, logo
A_1 = 8^2 = 64\text{ cm}^2.
A base menor tem lado 4,cm, logo
A_2 = 4^2 = 16\text{ cm}^2.
A fórmula do volume do tronco de pirâmide é
V_{\text{tronco}} = \frac{h}{3}\,\bigl(A_1 + \sqrt{A_1\,A_2} + A_2\bigr).
Substituindo h=4, A_1=64 e A_2=16:
\sqrt{A_1\,A_2} = \sqrt{64\cdot16} = 32, \quad V_{\text{tronco}} = \frac{4}{3}\,(64 + 32 + 16) = \frac{4}{3}\times112 = \frac{448}{3}\text{ cm}^3.

Passo 4

Calcular o volume inicial de água na caixa, que é o volume do cubo de aresta 10,cm:
V_{\text{água inicial}} = 10^3 = 1000\text{ cm}^3.á

Passo 5

Ao inserir o tronco maciço, ele desloca água igual ao seu volume, que transborda. Então o volume de água remanescente é
V_{\text{água final}} = V_{\text{água inicial}} - V_{\text{tronco}} = 1000 - \frac{448}{3} = \frac{3000 - 448}{3} = \frac{2552}{3}\text{ cm}^3.áá

Resposta

a) \displaystyle \frac{448}{3}\text{ cm}^3
b) \displaystyle \frac{2552}{3}\text{ cm}^3

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