1. Calcule a área lateral de um prisma reto de 10 cm de altura, cuja a base é um hexágono regular de apótema 3 \sqrt{3} \mathrm{~cm}.

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado:
  • Pede a área lateral de um prisma reto.
  • A altura do prisma é 10\\ \mathrm{cm}.
  • A base do prisma é um hexágono regular com apótema 3\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}.
  • Informação importante que vem do enunciado: o hexágono é regular (todos os lados iguais e todas as distâncias do centro aos lados iguais, isto é, o apótema é constante).

Passo 2

Qual fórmula usamos para a área lateral de um prisma reto e por quê.
  • Para um prisma reto, a área lateral A_L é a soma das áreas dos retângulos que formam as faces laterais. Cada retângulo tem altura igual à altura do prisma h e largura igual a um lado da base; somando todos os lados da base obtemos o perímetro P da base. Por isso:
A_L = P \cdot h
  • Explicando as variáveis: A_L é a área lateral (em unidades de área), P é o perímetro da base (em unidades de comprimento) e h é a altura do prisma (em unidades de comprimento). O produto P\cdot h dá área porque comprimento × comprimento = área.

Passo 3

Como obter o perímetro P do hexágono regular a partir do apótema.
  • Num hexágono regular, o perímetro é P=6s, onde s é o comprimento de cada lado. Então precisamos encontrar s a partir do apótema a.
  • Considere o triângulo formado pelo centro do hexágono, pelo ponto médio de um lado e por um dos vértices correspondentes. O ângulo central do hexágono é 60^\circ; dividindo ao meio obtemos um triângulo retângulo com ângulo de 30^\circ. Nesse triângulo retângulo:
    • o apótema a é o cateto adjacente ao ângulo de 30^\circ;
    • metade do lado, s/2, é o cateto oposto ao ângulo de 30^\circ.
  • Logo:
\tan 30^\circ = \frac{s/2}{a}
  • Sabendo que \tan 30^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{3}}, isolamos s:
\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{s}{2a}\quad\Rightarrow\quad s = \frac{2a}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Calcule o lado s usando o apótema dado a=3\sqrt{3}\\ \mathrm{cm}.
  • Substituindo na fórmula:
s = \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{2\cdot(3\sqrt{3})}{\sqrt{3}}.
  • Simplificando: o fator \sqrt{3} no numerador e denominador se cancelam:
s = 2\cdot 3 = 6\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Calcule o perímetro P do hexágono.
  • Como o hexágono tem 6 lados iguais,
P = 6s = 6\cdot 6 = 36\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

Use a fórmula da área lateral com P e h.
  • A altura do prisma é h=10\\ \mathrm{cm}. Aplicando
A_L = P\cdot h = 36\cdot 10.
  • Portanto
A_L = 360\\ \mathrm{cm}^2.

Resposta

360\\ \mathrm{cm}^2

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