- Calcule a área lateral de um prisma reto de 10 cm de altura, cuja a base é um hexágono regular de apótema
.
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado:
- Pede a área lateral de um prisma reto.
- A altura do prisma é
. - A base do prisma é um hexágono regular com apótema
. - Informação importante que vem do enunciado: o hexágono é regular (todos os lados iguais e todas as distâncias do centro aos lados iguais, isto é, o apótema é constante).
Passo 2
Qual fórmula usamos para a área lateral de um prisma reto e por quê.
- Para um prisma reto, a área lateral
é a soma das áreas dos retângulos que formam as faces laterais. Cada retângulo tem altura igual à altura do prisma e largura igual a um lado da base; somando todos os lados da base obtemos o perímetro da base. Por isso:
- Explicando as variáveis:
é a área lateral (em unidades de área), é o perímetro da base (em unidades de comprimento) e é a altura do prisma (em unidades de comprimento). O produto dá área porque comprimento × comprimento = área.
Passo 3
Como obter o perímetro
do hexágono regular a partir do apótema.
- Num hexágono regular, o perímetro é
, onde é o comprimento de cada lado. Então precisamos encontrar a partir do apótema . - Considere o triângulo formado pelo centro do hexágono, pelo ponto médio de um lado e por um dos vértices correspondentes. O ângulo central do hexágono é
; dividindo ao meio obtemos um triângulo retângulo com ângulo de . Nesse triângulo retângulo: - o apótema
é o cateto adjacente ao ângulo de ; - metade do lado,
, é o cateto oposto ao ângulo de .
- o apótema
- Logo:
- Sabendo que
, isolamos :
Passo 4
Calcule o lado
usando o apótema dado
.
- Substituindo na fórmula:
- Simplificando: o fator
no numerador e denominador se cancelam:
Passo 5
Calcule o perímetro
do hexágono.
- Como o hexágono tem 6 lados iguais,
Passo 6
Use a fórmula da área lateral com
e
.
- A altura do prisma é
. Aplicando
- Portanto