Calcule a área limitada pela curva y=6-23 x^2 e pela reta y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área limitada pela curva $ y = 6 - \frac{2}{3}x^{2} $ e pela reta $ y = 0 $. Aqui estamos trabalhando com Cálculo, mais especificamente com integrais para encontrar áreas entre curvas e eixos.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde a curva $ y = 6 - \frac{2}{3}x^{2} $ intercepta a reta $ y = 0 $. Isso nos dará os limites de integração.

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos $ y = 0 $:
y = 0
Resolvendo para $ x $:
0 = 6 - 23x^2
Então, os pontos de interseção são $ x = -3 $ e $ x = 3 $.

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral que representa a área entre $ x = -3 $ e $ x = 3 $:
x = -3 Á
Vamos calcular essa integral:
x = 3
Avalie de $ -3 $ a $ 3 $:
Área = integral-3^3 (6 - 23x^2) dx

Resposta

A área limitada pela curva $ y = 6 - \frac{2}{3}x^{2} $ e pela reta $ y = 0 $ é 24 unidades de área.

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