Calcule as integrais dadas a seguir.
integral-1^2(y-1)(2 y+1) d y

Passo 1

Vamos calcular a integral definida de integral-1^2(y-1)(2y+1) , dy. Isso faz parte do cálculo integral, onde a gente encontra a área sob a curva de uma função. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão dentro da integral e depois aplicar as regras de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão (y - 1)(2y + 1). Para isso, usamos a distributiva, ou seja, multiplicamos cada termo de um parêntese por cada termo do outro:
(y - 1)(2y + 1) = y cdot 2y + y cdot 1 - 1 cdot 2y - 1 cdot 1 = 2y^2 + y - 2y - 1
Agora, juntando os termos semelhantes:
2y^2 + y - 2y - 1 = 2y^2 - y - 1
Então, a integral fica:
integral-1^2 (2y^2 - y - 1) , dy

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integral de 2y^2:
    integral 2y^2 , dy = 23y^3
  2. Integral de -y:
    integral -y , dy = -12y^2
  3. Integral de -1:
    integral -1 , dy = -y
Juntando tudo, a antiderivada (função primitiva) é:
23y^3 - 12y^2 - y

Passo 4

Agora, vamos aplicar os limites de integração, substituindo y = 2 e y = -1 na antiderivada e subtraindo os resultados:
  1. Para y = 2:
    23(2)^3 - 12(2)^2 - 2 = 23(8) - 12(4) - 2 = 163 - 2 - 2 = 163 - 4 = 16 - 123 = 43
  2. Para y = -1:
    23(-1)^3 - 12(-1)^2 - (-1) = 23(-1) - 12(1) + 1 = -23 - 12 + 1
    Para simplificar:
    -23 - 12 + 1 = -46 - 36 + 66 = -76 + 66 = -16
  3. Subtraindo os valores:
    43 - (-16) = 43 + 16 = 86 + 16 = 96 = 32

Resposta

A integral integral-1^2(y-1)(2y+1) , dy é igual a dfrac32.

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