Calcule a área limitada pelas curvas:
(a) y=12-2 x^2, y=x^2
© x=y^2, x=32-y^2
(e) x=y^2, x=y+6
(b) x=y^2, x=25
(d) y=4-x^2, y=3 x^2-12
(f) x=y^2, y=x^2

Passo 1

O enunciado pede a cálculo das áreas limitadas pelos pares de curvas nos itens (a)–(f). O conteúdo envolve integrar a diferença entre funções, encontrando primeiro os pontos de interseção para determinar os limites de integração e depois calcular as integrais definidas.

Passo 2

Para (a) entre y=12-2x^2 e y=x^2 resolvemos
12-2x^2 = x^2
obtendo x^2=4 e x=pm2. A curva superior é y=12-2x^2, então
Aa = integral-2^2 l[(12-2x^2)-x^2r],dx = integral-2^2(12-3x^2),dx
Calculando,
Aa = l[12x - x^3r]-2^2 = (24-8)-(-24+8) = 32

Passo 3

Para (b) entre x=y^2 e x=25 resolvemos
y^2 = 25
obtendo y=pm5. A curva direita é x=25, logo
Ab = integral-5^5 l[25 - y^2r],dy
Calculando,
Ab = l[25y - tfracy^33r]-5^5 = (125 - tfrac1253) - (-125 + tfrac1253) = tfrac5003

Passo 4

Para © entre x=y^2 e x=32-y^2 resolvemos
y^2 = 32 - y^2
obtendo y^2=16 e y=pm4. A curva direita é x=32-y^2, então
Ac = integral-4^4 l[(32 - y^2) - y^2r],dy = integral-4^4(32 - 2y^2),dy
Calculando,
Ac = l[32y - tfrac2y^33r]-4^4 = (128 - tfrac1283) - (-128 + tfrac1283) = tfrac5123

Passo 5

Para (d) entre y=4-x^2 e y=3x^2-12 resolvemos
4 - x^2 = 3x^2 - 12
obtendo 4x^2 = 16 e x=pm2. A curva superior é y=4-x^2, então
Ad = integral-2^2 l[(4 - x^2) - (3x^2 - 12)r],dx = integral-2^2(16 - 4x^2),dx
Calculando,
Ad = l[16x - tfrac4x^33r]-2^2 = (32 - tfrac323) - (-32 + tfrac323) = tfrac1283

Passo 6

Para (e) entre x=y^2 e x=y+6 resolvemos
y^2 = y + 6
obtendo y=-2 e y=3. A curva direita é x=y+6, então
Ae = integral-2^3 l[(y+6) - y^2r],dy = integral-2^3(y + 6 - y^2),dy
Calculando,
Ae = l[tfracy^22 + 6y - tfracy^33r]-2^3 = tfrac1256

Passo 7

Para (f) entre x=y^2 e y=x^2 resolvemos simultaneamente x=y^2 e y=x^2, dando (0,0) e (1,1). Na faixa 0<= y<=1, a curva da direita é x=raizy e a da esquerda é x=y^2, então
Af = integral0^1 l[raizy - y^2r],dy = integral0^1(y^1/2 - y^2),dy
Calculando,
Af = l[tfrac23y^3/2 - tfracy^33r]0^1 = tfrac13

Resposta

a) 32; b) 500/3; c) 512/3; d) 128/3; e) 125/6; f) 1/3

Exercícios relacionados