Considere a função F: R R definida por: F(x)=integralx^2^2 traize^t+1 d t Justifique que F é diferenciável e calcule F^prime(x).

Passo 1

O enunciado define a função F:RtoR por F(x)=integralx^2^2traize^t+1,dt. O conteúdo principal aqui é o teorema de diferenciação de uma integral com limite variável (ou regra de Leibniz). Para resolver, vamos precisar mostrar que o integrando é contínuo e aplicar a fórmula para derivar uma integral cujos limites dependem de x.

Passo 2

A função f(t)=traize^t+1 é composição e quociente de funções contínuas: o numerador t e o denominador raize^t+1 (sempre positivo). Então f é contínua em R. Pelo teorema fundamental do cálculo e pela regra de Leibniz, isso garante que F(x)=integralx^2^2f(t),dt é diferenciável.

Passo 3

A regra de Leibniz diz que, se G(x)=integrala(x)^b(x)f(t),dt, então
G'(x)=f(b(x)),b'(x)-f(a(x)),a'(x)
No nosso caso, b(x)=2 (constante), logo b'(x)=0, e a(x)=x^2, logo a'(x)=2x. Portanto, substituindo na fórmula, obtemos
F'(x)=0- f(x^2)cdot2x = -2x,f(x^2)
Como f(x^2)=x^2raize^x^2+1, concluímos que a expressão final para a derivada é
F'(x)=-2xcdotx^2raize^x^2+1 = -2x^3raize^x^2+1

Resposta

-\frac{2x3}{\sqrt{e{x^2}+1}}

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