Considere a função
definida por:
Justifique que
é diferenciável e calcule
.
Passo 1
O enunciado define a função
por
. O conteúdo principal aqui é o teorema de diferenciação de uma integral com limite variável (ou regra de Leibniz). Para resolver, vamos precisar mostrar que o integrando é contínuo e aplicar a fórmula para derivar uma integral cujos limites dependem de
.
Passo 2
A função
é composição e quociente de funções contínuas: o numerador
e o denominador
(sempre positivo). Então
é contínua em
. Pelo teorema fundamental do cálculo e pela regra de Leibniz, isso garante que
é diferenciável.
Passo 3
A regra de Leibniz diz que, se
, então
No nosso caso,
Como
, concluímos que a expressão final para a derivada é
Resposta
-\frac{2x3}{\sqrt{e{x^2}+1}}