Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva indicada, em torno do eixo dos
:
Passo 1
O enunciado pede calcular a área de superfície gerada pela rotação da curva
em torno do eixo
, no intervalo
. Esse problema cai no conteúdo de superfícies de revolução, para o qual precisamos usar a fórmula de área
.
Passo 2
Para aplicar a fórmula, primeiro encontramos a derivada
.
Passo 3
Calculamos agora
e simplificamos a raiz:
Logo
.
Passo 4
Substituindo em
, obtemos
Expandindo o integrando fica
Passo 5
Separamos a integral em três partes:
Para
usamos integração por partes (
), e para
basta notar que é
.
Passo 6
Calculamos cada uma:
Passo 7
Avaliamos a combinação
e encontramos
Passo 8
Por fim, multiplicando por
e simplificando, a área é