Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva indicada, em torno do eixo dos x x: y=x^24-ln x2, 1 <= x <= 4

Passo 1

O enunciado pede calcular a área de superfície gerada pela rotação da curva y=x^24-ln x2 em torno do eixo x, no intervalo 1<= x<=4. Esse problema cai no conteúdo de superfícies de revolução, para o qual precisamos usar a fórmula de área S=2piintegrala^b yraiz1+(y')^2,dx.

Passo 2

Para aplicar a fórmula, primeiro encontramos a derivada y'=ddxl(tfracx^24-tfracln x2r)=x2-12x.

Passo 3

Calculamos agora 1+(y')^2 e simplificamos a raiz:
1+l(x2-12xr)^2=1+(x^2-1)^24x^2=(x^2+1)^24x^2
Logo raiz1+(y')^2=x^2+12x.

Passo 4

Substituindo em S=2piintegral1^4 yraiz1+(y')^2,dx, obtemos
S=2piintegral1^4l(x^24-ln x2r)x^2+12x,dx
Expandindo o integrando fica
l(x^24-ln x2r)x^2+12x=x^3+x8-xln x4-ln x4x

Passo 5

Separamos a integral em três partes:
integralx^3+x8,dx, integralxln x4,dx, integralln x4x,dx
Para integral xln x,dx usamos integração por partes ( u=ln x, dv=x,dx), e para integralln xx,dx basta notar que é (ln x)^2/2.

Passo 6

Calculamos cada uma:
integralx^3+x8,dx=x^432+x^216, integralxln x4,dx=x^28ln x-x^216, integralln x4x,dx=(ln x)^28

Passo 7

Avaliamos a combinação
l[x^432+x^216-l(x^28ln x-x^216r)-(ln x)^28r]1^4
e encontramos
31532-4ln2-(ln2)^22

Passo 8

Por fim, multiplicando por 2pi e simplificando, a área é
S=315pi16-8piln2-pi(ln2)^2

Resposta

315pi16-8piln2-pi(ln2)^2

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