Calcule a área dos seguintes subconjuntos de
:
Passo 1
Resumo do problema e conteúdo envolvido: a gente quer achar a área do conjunto de pontos (x,y) tal que y fica abaixo da reta y=5 e acima de duas curvas, y=−5x+5 e y=ln x. O tema é cálculo de área via integração em x, então vamos precisar identificar qual dessas duas curvas é o “fundo” do nosso domínio para cada x e depois montar a integral.
Passo 2
Encontrar a interseção das curvas y=ln x e y=−5x+5: a gente resolve ln x = −5x +5. Definindo φ(x)=ln x +5x−5, note que φ′(x)=1/x+5>0, logo φ é estritamente crescente. Como φ(1)=0, concluímos que a única solução é x=1. Para x<1 temos −5x+5 > ln x, e para x>1 vale ln x > −5x+5.
Passo 3
Determinar o domínio de integração e montar a integral dividida: como ln x ≤5 implica x ≤ e^5, nosso x varia de 0 até e^5 (lembrando que x>0). Para 0<x<1 o “fundo” é y=−5x+5, e para 1<x<e^5 o fundo é y=ln x. Assim a área A é
Passo 4
Calcular as integrais: na faixa [0,1]
Na faixa [1,e^5]
Somando ambas as partes vem A=5/2 + (e^5 -6)=e^5 -7/2.