Calcule a área dos seguintes subconjuntos de R^2: (x, y) in R^2: y <= 5, y >=-5 x+5, y >= ln x

Passo 1

Resumo do problema e conteúdo envolvido: a gente quer achar a área do conjunto de pontos (x,y) tal que y fica abaixo da reta y=5 e acima de duas curvas, y=−5x+5 e y=ln x. O tema é cálculo de área via integração em x, então vamos precisar identificar qual dessas duas curvas é o “fundo” do nosso domínio para cada x e depois montar a integral.

Passo 2

Encontrar a interseção das curvas y=ln x e y=−5x+5: a gente resolve ln x = −5x +5. Definindo φ(x)=ln x +5x−5, note que φ′(x)=1/x+5>0, logo φ é estritamente crescente. Como φ(1)=0, concluímos que a única solução é x=1. Para x<1 temos −5x+5 > ln x, e para x>1 vale ln x > −5x+5.

Passo 3

Determinar o domínio de integração e montar a integral dividida: como ln x ≤5 implica x ≤ e^5, nosso x varia de 0 até e^5 (lembrando que x>0). Para 0<x<1 o “fundo” é y=−5x+5, e para 1<x<e^5 o fundo é y=ln x. Assim a área A é
A=integral0^1l(5-(-5x+5)r),dx + integral1^e^5l(5-ln xr),dx

Passo 4

Calcular as integrais: na faixa [0,1]
integral0^1(5+5x-5),dx=integral0^15x,dx=52
Na faixa [1,e^5]
integral1^e^55,dx - integral1^e^5ln x,dx =5(e^5-1) - l[xln x - xr]1^e^5 =5e^5-5 - l(5e^5-e^5 - (0-1)r) =e^5 -6
Somando ambas as partes vem A=5/2 + (e^5 -6)=e^5 -7/2.

Resposta

e^5 - tfrac72

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