Calcule a área limitada pelas curvas: x=y^2, x=32-y^2

Passo 1

O exercício pede para calcular a área limitada pelas curvas x = y^2 e x = 32 - y^2. O conteúdo aqui é cálculo de área entre curvas definidas como funções de y, e vamos precisar usar uma integral definida em y.

Passo 2

Para encontrar onde as duas curvas se cruzam, igualamos y^2 = 32 - y^2. Resolvendo:
2y^2 = 32 Rightarrow y^2 = 16 Rightarrow y = pm 4

Passo 3

Isso nos diz que a região está entre y = -4 e y = 4. Em cada valor de y, a fronteira direita é dado por x = 32 - y^2 e a fronteira esquerda por x = y^2.
A área é dada por
A = integraly=-4^4 l[(32 - y^2) - (y^2)r] ,dy = integral-4^4 (32 - 2y^2) ,dy

Passo 4

Agora, integramos:
integral (32 - 2y^2) ,dy = 32y - 2 cdot y^33 = 32y - 2y^33

Passo 5

Só resta avaliar entre -4 e 4:
l(32y - tfrac2y^33r)|-4^4 = l(128 - tfrac1283r) - l(-128 + tfrac1283r) = tfrac2563 + tfrac2563 = tfrac5123

Resposta

5123

Exercícios relacionados