Seja ( X1, ldots, Xn) de uma populaçào X sim N(mu, 1).
2) Encontre a distribuição aproximada para mu quando n é grande.
Informação de Fisher: I(theta)=E[(partialpartial theta log f(X mid theta))^2]=-E[partial^2partial theta^2 log f(X mid theta)].

Passo 1

O enunciado pede para achar a distribuição assintótica de um estimador de mu quando temos uma amostra X1,dots,Xn de N(mu,1) e n grande, usando Informação de Fisher. Vamos usar o fato de que o estimador de máxima verossimilhança (MV) é relevante aqui e que, em geral, o MV é assintoticamente normal.

Passo 2

Para começar, identificamos o estimador de máxima verossimilhança para mu. A função densidade de cada observação é
f(xmidmu)=1raiz2piexpl(-tfrac(x-mu)^22r)
O log-verossimilhança do conjunto de dados é a soma dos logaritmos, e derivando em relação a mu e anulando, obtemos como MV:
muMV=X=1nsumi=1^nXi

Passo 3

Agora vamos calcular a Informação de Fisher por observação. Primeiro derivamos o log da densidade:
partialpartialmulog f(Xmidmu)=X-mu1
Então
I(mu)=El[l(tfracpartialpartialmulog f(Xmidmu)r)^2r] =El[(X-mu)^2r]=Var(X)=1

Passo 4

Como temos n observações independentes, a informação total é
In(mu)=n,I(mu)=n
Pelo teorema de regularidade para estimadores de máxima verossimilhança, sabemos que
raiznl(muMV-mur)xrightarrowdN(0,,I(mu)^-1)
onde I(mu) é a informação por observação. Aqui I(mu)=1, logo a variância assintótica de raizn(hatmu-mu) é 1.

Passo 5

Portanto, concluímos que, para n grande, o estimador de máxima verossimilhança hatmu=overline X satisfaz
muapprox Nl(mu,,1nr)
e equivalentemente
raiznl(mu-mur)approx N(0,1)

Resposta

Quando n é grande, o estimador de máxima verossimilhança mu=overline X tem distribuição aproximada
musim Nl(mu,1nr)
ou seja
raizn(mu-mu)sim N(0,1)

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