Calcule a área dos seguintes subconjuntos de R^2: (x, y) in R^2: y <= 1 / x^2, y >= x, y <= 8 x

Passo 1

O enunciado pede a área do conjunto D={(x,y)∈ℝ²: y≤1/x², y≥x, y≤8x}. O conteúdo é cálculo de área por integração dupla: vamos projetar D no eixo x, achar a curva superior e inferior para y em função de x e integrar a diferença.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio em x de D. Como y≥x e y≤8x só fazem sentido simultaneamente se 8x≥x, logo para x≥0. Além disso, y≤1/x² e y≥x exigem x≤1 (pois x≤1/x² implica x³≤1). Assim o x varia em [0,1].

Passo 3

Agora precisamos descobrir, em [0,1], qual das curvas y=8x ou y=1/x² dá o teto (valor mínimo) para y. Igualamos 8x=1/x², isto é 8x³=1, de onde x=1/2. Para 0≤x≤1/2 tem 8x≤1/x², e para 1/2≤x≤1 vale 1/x²≤8x.

Passo 4

Portanto dividimos a área em duas integrais: para x∈[0,1/2], y varia de y=x até y=8x, e para x∈[1/2,1], y varia de y=x até y=1/x². Logo
A=integral0^1/2(8x - x),dx + integral1/2^1l(tfrac1x^2-xr),dx

Passo 5

Calculando a primeira integral:
integral0^1/27x,dx = 7cdotx^22|0^1/2 = 7cdot1/42 = 78

Passo 6

E a segunda:
integral1/2^1l(x^-2-xr)dx = l(-tfrac1x-tfracx^22r)|1/2^1 = l(-1-tfrac12r)-l(-2-tfrac18r) = 58

Passo 7

Somando as partes obtém-se A=7/8+5/8=12/8=3/2.

Resposta

3/2

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