Calcule a área dos seguintes subconjuntos de
:
Passo 1
O enunciado pede a área do conjunto D={(x,y)∈ℝ²: y≤1/x², y≥x, y≤8x}. O conteúdo é cálculo de área por integração dupla: vamos projetar D no eixo x, achar a curva superior e inferior para y em função de x e integrar a diferença.
Passo 2
Primeiro identificamos o domínio em x de D. Como y≥x e y≤8x só fazem sentido simultaneamente se 8x≥x, logo para x≥0. Além disso, y≤1/x² e y≥x exigem x≤1 (pois x≤1/x² implica x³≤1). Assim o x varia em [0,1].
Passo 3
Agora precisamos descobrir, em [0,1], qual das curvas y=8x ou y=1/x² dá o teto (valor mínimo) para y. Igualamos 8x=1/x², isto é 8x³=1, de onde x=1/2. Para 0≤x≤1/2 tem 8x≤1/x², e para 1/2≤x≤1 vale 1/x²≤8x.
Passo 4
Portanto dividimos a área em duas integrais: para x∈[0,1/2], y varia de y=x até y=8x, e para x∈[1/2,1], y varia de y=x até y=1/x². Logo
Passo 5
Calculando a primeira integral:
Passo 6
E a segunda:
Passo 7
Somando as partes obtém-se A=7/8+5/8=12/8=3/2.
Resposta
3/2