Encontre os estimadores utilizando o Método dos Momentos e o Método de Máxima Verossimilhança da distribuição da amostra aleatória (X1, ldots, Xn) de uma populaçio X sim f(x mid Theta) :
a) Se X tem distribuigio de Bernoulli: f(x mid p)=p^x(1-p)^1-x, x=0,1, - 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os estimadores do parâmetro $ p $ da distribuição de Bernoulli usando dois métodos: o Método dos Momentos e o Método de Máxima Verossimilhança. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre essas duas técnicas e como elas se aplicam a uma amostra de variáveis aleatórias Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o Método dos Momentos. Esse método envolve igualar o momento amostral (como a média da amostra) ao momento teórico da distribuição para resolver o parâmetro desconhecido.
No caso da distribuição de Bernoulli, o valor esperado (ou média) é dado por:
E[X] = p
Então, a média da nossa amostra ($ \bar{X} $) será igual a $ p $. Assim, o estimador pelo Método dos Momentos é simplesmente:
barX

Passo 3

Agora, vamos para o Método de Máxima Verossimilhança. Esse método busca encontrar o valor do parâmetro que maximiza a função de verossimilhança, que mede a “probabilidade” de observar os dados da amostra dado o parâmetro.
A função de verossimilhança para uma amostra $ X_1, X_2, ···, X_n $ da distribuição de Bernoulli é:
X1, X2, ldots, Xn
Para facilitar a maximização, tomamos o logaritmo da função de verossimilhança:
L(p) = prodi=1^n p^xi(1-p)^1-xi
Agora, derivamos em relação a $ p $ e igualamos a zero para encontrar o ponto de máximo:
ln L(p) = sumi=1^n [ xi ln(p) + (1 - xi) ln(1 - p) ]
Resolvendo a equação para $ p $:
p
ddp ln L(p) = sumi=1^n [ xip - 1 - xi1 - p ] = 0
Então, o estimador pelo Método de Máxima Verossimilhança é:
p

Resposta

Tanto pelo Método dos Momentos quanto pelo Método de Máxima Verossimilhança, o estimador para $ p $ é a média amostral:
p

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