Encontre os estimadores utilizando o Método dos Momentos e o Método de Máxima Verossimilhança da distribuição da amostra aleatória
de uma populaçio
:
a) Se
tem distribuigio de Bernoulli:
, -
.
a) Se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os estimadores do parâmetro $ p $ da distribuição de Bernoulli usando dois métodos: o Método dos Momentos e o Método de Máxima Verossimilhança. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre essas duas técnicas e como elas se aplicam a uma amostra de variáveis aleatórias Bernoulli.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o Método dos Momentos. Esse método envolve igualar o momento amostral (como a média da amostra) ao momento teórico da distribuição para resolver o parâmetro desconhecido.
No caso da distribuição de Bernoulli, o valor esperado (ou média) é dado por:
Então, a média da nossa amostra ($ \bar{X} $) será igual a $ p $. Assim, o estimador pelo Método dos Momentos é simplesmente:
Passo 3
Agora, vamos para o Método de Máxima Verossimilhança. Esse método busca encontrar o valor do parâmetro que maximiza a função de verossimilhança, que mede a “probabilidade” de observar os dados da amostra dado o parâmetro.
A função de verossimilhança para uma amostra $ X_1, X_2, ···, X_n $ da distribuição de Bernoulli é:
Para facilitar a maximização, tomamos o logaritmo da função de verossimilhança:
Agora, derivamos em relação a $ p $ e igualamos a zero para encontrar o ponto de máximo:
Resolvendo a equação para $ p $:
Então, o estimador pelo Método de Máxima Verossimilhança é:
Resposta
Tanto pelo Método dos Momentos quanto pelo Método de Máxima Verossimilhança, o estimador para $ p $ é a média amostral: