Calcule a área limitada pelas curvas: x=y^2, x=y+6

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área limitada pelas curvas x = y² e x = y + 6. Esse é um exercício de cálculo de área entre curvas, onde vamos usar integração em relação a y e precisar determinar primeiro os pontos de interseção.

Passo 2

Para achar os limites de integração, igualamos as duas expressões de x:
y^2 = y + 6
Resolvendo y^2 - y - 6 = 0
obtemos y = 3 e y = -2.

Passo 3

No intervalo de y de −2 até 3, a curva x = y + 6 fica sempre à direita de x = y^2, pois y + 6 - y^2 é positivo nesse trecho. Assim, a área entre as curvas é dada por
A = integral-2^3 l[(y + 6) - y^2r] , dy

Passo 4

Agora calculamos a primitiva do integrando. Para f(y) = y + 6 - y^2, uma antiderivada é
F(y) = y^22 + 6y - y^33
Portanto
A = F(3) - F(-2)

Passo 5

Avaliando F:
Para y = 3: F(3) = 92 + 18 - 9 = 272
Para y = -2: F(-2) = 42 - 12 + 83 = -223
Logo A = 272 - l(-tfrac223r) = 272 + 223 = 1256

Resposta

1256

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