Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados: y=raizx-1, y=0, x=3; em torno do eixo dos x x.

Passo 1

O problema pede para calcular o volume do sólido obtido ao girar a região limitada por y=raizx-1, y=0 e x=3 em torno do eixo x. Isso cai no conteúdo de cálculo de volumes por discos, onde usamos a fórmula de integração de áreas transversais.

Passo 2

Para identificar os limites de integração, notamos que a curva y=raizx-1 existe a partir de x-1>=0, ou seja, x>=1. A região vai de x=1 até x=3, e para cada x a distância ao eixo x (o raio do disco) é y=raizx-1.

Passo 3

No método dos discos, a área de cada seção transversal é A(x)=pil(y(x)r)^2. Aqui temos y(x)=raizx-1, então
A(x)=pil(raizx-1r)^2=pi(x-1)

Passo 4

O volume é a integral dessa área de x=1 a x=3:
V=integral1^3A(x),dx=integral1^3pi(x-1),dx

Passo 5

Calculando a integral:
V=piintegral1^3(x-1),dx=pi[(x-1)^22]1^3=picdot(3-1)^2-(1-1)^22=4pi2=2pi

Resposta

2pi

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