Considere a função
definida por
(a) Utilize o Teorema Fundamental do Cálculo Integral para mostrar que
.
(b) Conclua que
é constante e indique o seu valor. Sugestão: calcule
.
(b) Conclua que
Passo 1
O enunciado define a função
por duas integrais
. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia para derivar cada termo.
Passo 2
Derivar o primeiro termo é direto pelo Teorema Fundamental do Cálculo: a derivada de
em relação a
é simplesmente o integrando avaliado em
, ou seja,
.
Passo 3
Para o segundo termo
, aplicamos Teorema Fundamental junto com regra da cadeia. Se
, então
Aqui
e
, logo
Passo 4
Somando as duas derivadas, obtemos
mostrando que
para todo
.
Passo 5
Como a derivada é zero em todo o domínio,
é constante. Para achar essa constante, basta calcular
:
Resposta
f(x) =
para todo
.