Considere a função f:] 0,+infty[ R definida por
f(x)=integral0^x 11+t^2 d t+integral0^1 / x 11+t^2 d t
(a) Utilize o Teorema Fundamental do Cálculo Integral para mostrar que f^prime(x)=0, forall x>0.
(b) Conclua que f é constante e indique o seu valor. Sugestão: calcule f(1).

Passo 1

O enunciado define a função f:(0,+infty)toR por duas integrais f(x)=integral0^x11+t^2,dt+integral0^1/x11+t^2,dt. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia para derivar cada termo.

Passo 2

Derivar o primeiro termo é direto pelo Teorema Fundamental do Cálculo: a derivada de integral0^x11+t^2,dt em relação a x é simplesmente o integrando avaliado em x, ou seja, 11+x^2.

Passo 3

Para o segundo termo integral0^1/x11+t^2,dt, aplicamos Teorema Fundamental junto com regra da cadeia. Se u(x)=1/x, então
ddxintegral0^u(x)11+t^2,dt = 11+l(u(x)r)^2cdot u'(x)
Aqui u'(x)=-1/x^2 e 1+u(x)^2=1+1/x^2=(x^2+1)/x^2, logo
11+l(1/xr)^2cdotl(-1/x^2r)=x^2x^2+1cdotl(-tfrac1x^2r)=-1x^2+1

Passo 4

Somando as duas derivadas, obtemos
f'(x)=11+x^2-11+x^2=0,
mostrando que f'(x)=0 para todo x>0.

Passo 5

Como a derivada é zero em todo o domínio, f é constante. Para achar essa constante, basta calcular f(1):
f(1)=integral0^111+t^2,dt+integral0^111+t^2,dt=2integral0^111+t^2,dt=2l[arctan(t)r]0^1=2cdotpi4=pi2

Resposta

f(x) = tfracpi2 para todo x>0.

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