Calcule a área dos seguintes subconjuntos de R^2: (x, y) in R^2: y <= 2, y <= x, y >= raizx

Passo 1

O problema pede para calcular a área do subconjunto de R^2 definido por
x
Aqui o conteúdo é área de região plana via integral dupla; vamos precisar encontrar o domínio em y e os limites de .

Passo 2

Primeiro, determinamos os pontos de interseção das curvas que limitam a região:
  1. y=raizx e y=x se encontram em
raizx=x implies x=0 ou x=1
Como y=raizx só está definido para x>=0, o ponto relevante é x=1.
2. y=raizx e y=2 se encontram em
raizx=2 implies x=4
  1. y=x e y=2 se encontram em x=2.
    Observamos que, para 0<= x<1, raizx>x e não há região onde raizx<= y<= x. Portanto o domínio em x fica de x=1 até x=4, com mudança de quem é o limite superior de y em x=2.

Passo 3

Para montar a integral dupla dividimos em duas faixas de x:
  1. Se 1<= x<=2, temos raizx<= y<= x.
  2. Se 2<= x<=4, temos raizx<= y<=2.
    Assim a área A é
A=integral1^2l(x-raizxr),dx +integral2^4l(2-raizxr),dx

Passo 4

Calculamos o primeiro integral:
integral1^2(x-raizx),dx =l[x^22-23x^3/2r]1^2 =l(2-4raiz23r)-l(12-23r) =136-4raiz23

Passo 5

Calculamos o segundo integral:
integral2^4(2-raizx),dx =l[2x-23x^3/2r]2^4 =l(8-163r)-l(4-4raiz23r) =4(raiz2-1)3

Passo 6

Somando as duas partes:
A=l(136-4raiz23r)+4(raiz2-1)3 =56

Resposta

5/6

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