Determine uma função diferenciável
tal que
e
Passo 1
O enunciado pede para determinar uma função diferenciável f de ℝ em ℝ, com f(0)=0, que satisfaz
Isso envolve conteúdo de diferenciação de funções definidas implicitamente e de integrais com limite variável; vamos precisar usar a derivada de logaritmo e a regra de Leibniz para diferenciar a integral.
Passo 2
Vamos diferenciar ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo usamos a regra da cadeia para o logaritmo:
No lado direito usamos a fórmula da derivada de uma integral com limite superior variável:
Como
, mas focando primeiro em x≥0 temos
.
Passo 3
Cancelando o denominador
(que não anula perto de x=0) obtemos para x≥0:
Isso é uma equação diferencial ordinária simples: a derivada de f é conhecida.
Passo 4
Agora basta integrar:
Usando a condição inicial f(0)=0, temos
Logo em x≥0
Passo 5
Finalmente, vale verificar para x<0 também. Como a integral depende só de x² e em
usamos
, fica
e
confirmando que a mesma expressão
satisfaz o enunciado para todo x∈ℝ.
Resposta
f(x)=e{x{2}}-1