Determine uma função diferenciável f: R R tal que f(0)=0 e ln (1+f(x))=integral0^x^2 e^t1+f(raizt) d t

Passo 1

O enunciado pede para determinar uma função diferenciável f de ℝ em ℝ, com f(0)=0, que satisfaz
lnl(1+f(x)r)=integral0^x^2e^t1+f(raizt),dt
Isso envolve conteúdo de diferenciação de funções definidas implicitamente e de integrais com limite variável; vamos precisar usar a derivada de logaritmo e a regra de Leibniz para diferenciar a integral.

Passo 2

Vamos diferenciar ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo usamos a regra da cadeia para o logaritmo:
ddxlnl(1+f(x)r)=f'(x)1+f(x)
No lado direito usamos a fórmula da derivada de uma integral com limite superior variável:
ddxintegral0^x^2g(t),dt=g(x^2)cdotddx(x^2)=e^x^21+f(raizx^2)cdot2x
Como raizx^2=|x|, mas focando primeiro em x≥0 temos raizx^2=x.

Passo 3

Cancelando o denominador 1+f(x) (que não anula perto de x=0) obtemos para x≥0:
f'(x)=2x,e^x^2
Isso é uma equação diferencial ordinária simples: a derivada de f é conhecida.

Passo 4

Agora basta integrar:
f(x)=integral2x,e^x^2,dx=e^x^2+C
Usando a condição inicial f(0)=0, temos
f(0)=e^0+C=1+C=0implies C=-1
Logo em x≥0
f(x)=e^x^2-1

Passo 5

Finalmente, vale verificar para x<0 também. Como a integral depende só de x² e em f(raizt) usamos raizt≥0, fica
integral0^x^2e^t1+f(raizt),dt=integral0^x^21,dt=x^2,
e
lnl(1+f(x)r)=lnl(e^x^2r)=x^2,
confirmando que a mesma expressão f(x)=e^x^2-1 satisfaz o enunciado para todo x∈ℝ.

Resposta

f(x)=e{x{2}}-1

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