Calcule a área limitada pelas curvas y=3 x^2-6 e y=x^2-2.
Desenhe a região de integração.

Passo 1

Resumo do problema: temos duas parábolas dadas por y = 3x^2 - 6 e y = x^2 - 2. Queremos calcular a área da região fechada entre elas, usando integração entre curvas.

Passo 2

Esboço da região de integração: desenhe as duas parábolas no plano (x,y). A parábola y = 3x^2 - 6 é mais “estreita” e deslocada para baixo, e y = x^2 - 2 é mais “larga” e também deslocada para baixo, mas menos. A região procurada fica entre esses dois gráficos, limitada horizontalmente pelos pontos de interseção.

Passo 3

Determinação dos pontos de interseção: para encontrar as fronteiras em x, igualamos as duas funções:
3x^2 - 6 = x^2 - 2
Isolando termos:
3x^2 - x^2 = -2 + 6
2x^2 = 4
x^2 = 2 ,Rightarrow, x = pmraiz2.

Passo 4

Identificação da função superior e inferior no intervalo [-raiz2,,raiz2]: para um x qualquer dentro desses limites, temos
(x^2 - 2) - (3x^2 - 6) = -2x^2 + 4 > 0 quando x^2 < 2
Isso mostra que y = x^2 - 2 está acima de y = 3x^2 - 6 nesse intervalo.

Passo 5

Configuração do integral da área: a área A é dada por
A = integralx=-raiz2^raiz2 l[ (x^2 - 2) - (3x^2 - 6) r] ,dx = integral-raiz2^raiz2 (-2x^2 + 4) ,dx

Passo 6

Cálculo do integral: o antiderivado de -2x^2 + 4 é
F(x) = -tfrac23x^3 + 4x
Avaliando de -raiz2 a raiz2:
F(raiz2) = -tfrac23(raiz2)^3 + 4raiz2 = -tfrac43raiz2 + 4raiz2 = tfrac83raiz2,
F(-raiz2) = -tfrac23(-raiz2)^3 + 4(-raiz2) = tfrac43raiz2 - 4raiz2 = -tfrac83raiz2

Passo 7

Subtraindo, obtemos
A = F(raiz2) - F(-raiz2) = tfrac83raiz2 - l(-tfrac83raiz2r) = tfrac163raiz2

Resposta

16raiz23

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