Calcule a área limitada pelas curvas
e
.
Desenhe a região de integração.
Desenhe a região de integração.
Passo 1
Resumo do problema: temos duas parábolas dadas por
e
. Queremos calcular a área da região fechada entre elas, usando integração entre curvas.
Passo 2
Esboço da região de integração: desenhe as duas parábolas no plano
. A parábola
é mais “estreita” e deslocada para baixo, e
é mais “larga” e também deslocada para baixo, mas menos. A região procurada fica entre esses dois gráficos, limitada horizontalmente pelos pontos de interseção.
Passo 3
Determinação dos pontos de interseção: para encontrar as fronteiras em
, igualamos as duas funções:
Isolando termos:
Passo 4
Identificação da função superior e inferior no intervalo
: para um
qualquer dentro desses limites, temos
Isso mostra que
Passo 5
Configuração do integral da área: a área
é dada por
Passo 6
Cálculo do integral: o antiderivado de
é
Avaliando de
Passo 7
Subtraindo, obtemos