Esboce a região de integração e inverta a ordem das integrais iteradas em:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente desenhar a região onde vamos integrar e depois mudar a ordem das integrais. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente de integrais duplas. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como visualizar a região de integração no plano xy e como ajustar os limites de integração quando mudamos a ordem das variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração que a gente tem. A integral original é:
Aqui, o $ x $ vai de 0 a 1. Para cada valor de $ x $, $ y $ varia de $ x $ até $ 3x $. Então, nossa região é limitada pelas linhas $ y = x $ e $ y = 3x $ e, pelo menos, entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $.
Passo 3
Vamos esboçar essa região. Imagine o sistema de coordenadas:
- A linha $ y = x $ é uma reta que passa pela origem com inclinação 45 graus.
- A linha $ y = 3x $ é outra reta que também passa pela origem, mas com inclinação mais acentuada (aproximadamente 71,6 graus).
- O intervalo de $ x $ é de 0 a 1, então nossa região está limitada verticalmente entre esses valores de $ x $.
Então, a região de integração é um trapézio triangular entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $, e entre as linhas $ y = x $ e $ y = 3x $.
Passo 4
Agora, queremos inverter a ordem das integrais, ou seja, integrar primeiro em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $. Para isso, precisamos encontrar como $ x $ varia em termos de $ y $.
Observando nossa região:
- Para um dado $ y $, $ x $ vai de $ \frac{y}{3} $ (obtido de $ y = 3x $) até $ y $ (obtido de $ y = x $).
- E $ y $ varia de 0 até 3 (já que quando $ x = 1 $, $ y = 3x = 3 $).
Passo 5
Com esses novos limites, podemos reescrever a integral invertida. Ficaria assim:
Resposta
A integral com a ordem das integrais invertidas fica: