Calcule a área limitada pelas funções y=raizx, y=raiz3 x-18 e y=0;

Passo 1

O problema pede a área limitada pelas curvas y=√x, y=√(3x−18) e y=0, então vamos usar cálculo de área por integração no plano.

Passo 2

Precisamos achar os pontos onde essas curvas se encontram para determinar o domínio. Para y=0 e y=√(3x−18) temos:
0=raiz3x-18implies x=6
Para √x=√(3x−18):
raizx=raiz3x-18implies x=3x-18implies x=9, y=3

Passo 3

Para fazer a integral em y, expressamos x em função de y. Da curva y=√x vem x=y². Da curva y=√(3x−18) isolamos:
3x-18=y^2implies x=y^2+183

Passo 4

O domínio em y vai de y=0 até y=3. Para cada y, x varia da curva x=y² (à esquerda) até x=(y²+18)/3 (à direita). Assim:
A=integral0^3l[xdireita-xesquerdar],dy =integral0^3l(y^2+183-y^2r),dy

Passo 5

Simplificamos o integrando e integramos:
y^2+183-y^2=18-2y^23,
A=integral0^318-2y^23,dy =13integral0^3(18-2y^2),dy =13l[18y-2y^33r]0^3 =12

Resposta

12

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