Calcule a área limitada por y=x-x^3 e y=x^3-x^2-2 x;

Passo 1

O enunciado pede a área limitada pelas curvas y=x-x^3 e y=x^3 - x^2 - 2x. O conteúdo é cálculo de área entre curvas, e vamos precisar: achar pontos de interseção, determinar qual curva está acima em cada intervalo e integrar a diferença absoluta entre elas.

Passo 2

Igualamos as funções para encontrar os pontos de interseção:
x - x^3 = x^3 - x^2 - 2x
Passando tudo para um lado:
x - x^3 - x^3 + x^2 + 2x = 0
-2x^3 + x^2 + 3x = 0
Colocando x em evidência:
x(-2x^2 + x + 3) = 0
Resolvendo: x=0 ou -2x^2 + x +3=0. Para a equação quadrática:
2x^2 - x - 3 = 0 De
x = tfrac1 pm 54 ,Rightarrow, x = tfrac64=tfrac32 ;ou; x = -1
Logo, os pontos de interseção são x=-1, 0, tfrac32.

Passo 3

Para saber qual curva está acima, definimos
f(x) = (x - x^3) - (x^3 - x^2 - 2x) = 3x + x^2 - 2x^3
No intervalo [-1,0], testamos x=-0.5 e achamos f(-0.5)<0, logo y=x^3 - x^2 - 2x fica acima.
No intervalo [0,tfrac32], testamos x=1 e achamos f(1)>0, logo y=x - x^3 fica acima.

Passo 4

A área procurada é dada por
A = integral-1^0 l[(x^3 - x^2 - 2x) - (x - x^3)r] ,dx + integral0^3/2 l[(x - x^3) - (x^3 - x^2 - 2x)r] ,dx
Note que ambas as integrais envolvem a mesma expressão f(x)=3x + x^2 -2x^3. Podemos usar a primitiva
F(x) = integral (3x + x^2 -2x^3),dx = tfrac32x^2 + tfrac13x^3 - tfrac12x^4
Calculamos cada parte:
integral0^3/2 f(x),dx = F(tfrac32) - F(0) = 1.96875 = tfrac6332
integral-1^0 [-f(x)],dx = F(-1) - F(0) = tfrac23
Somando as duas áreas:
A = tfrac23 + tfrac6332 = tfrac25396

Resposta

25396

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