Calcule a área limitada pelo gráfico da função y=\cos (x), desde x \in(0, \pi / 4).

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelo gráfico de y=\cos(x), pelas retas verticais x=0 e x=\pi/4 e pelo eixo x. Isso é exatamente a integral definida de \cos(x) de 0 a \pi/4.

Passo 2

Escrevemos a área A como
A = \int_{0}^{\pi/4} \cos(x)\,dx.

Passo 3

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: uma primitiva de \cos(x) é \sin(x). Logo,
\int \cos(x)\,dx = \sin(x) + C.

Passo 4

Agora avaliamos a integral definida:
A = \Bigl[\sin(x)\Bigr]_{0}^{\pi/4} = \sin\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) - \sin(0) = \frac{\sqrt{2}}{2} - 0 = \frac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\boxed{\frac{\sqrt{2}}{2}}

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