(5 pontos) Resolva o seguinte problema:
(a) As 10 h o navio A está a 30 km ao norte do navio B. Se o navio A está navegando para o oeste a 20 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e o navio B está navegando para o sul a 25 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Determine a razão em que a distância dos navios está variando as 11 h 00 .

Passo 1

O enunciado diz que, às 10 h, o navio A está 30 km ao norte do navio B. A navegação é feita com velocidades constantes: A vai para o oeste a 20 km/h e B vai para o sul a 25 km/h. Precisamos usar noções de taxas relacionadas (derivadas implícitas) para encontrar, às 11 h, a razão de variação da distância entre eles.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas em que, no instante t=0 (10 h), o navio B está em (0,0) e o navio A em (0,30). Para t em horas após as 10 h:
x(t)=\text{distância horizontal de B a A}=-20\,t,â
y(t)=\text{distância vertical de B a A}=30+25\,t.â
A distância D(t) entre os navios vale
D(t)=\sqrt{x(t)^2+y(t)^2}.
Diferenciando em função de t, obtemos
\frac{dD}{dt} =\frac{x\,\frac{dx}{dt}+y\,\frac{dy}{dt}}{D}.

Passo 3

Calculamos as derivadas e avaliamos em t=1 (11 h):
x(1)=-20,\quad y(1)=30+25\cdot1=55,
\frac{dx}{dt}=-20,\quad \frac{dy}{dt}=25,\quad D(1)=\sqrt{(-20)^2+55^2}=\sqrt{400+3025}=5\sqrt{137}.
Logo,
\frac{dD}{dt}\Big|_{t=1} =\frac{(-20)(-20)+55\cdot25}{5\sqrt{137}} =\frac{400+1375}{5\sqrt{137}} =\frac{1775}{5\sqrt{137}} =\frac{355}{\sqrt{137}} \approx30,3\\ \text{km/h}.

Resposta

A distância entre os navios está aumentando a \displaystyle \frac{355}{\sqrt{137}}\approx30{,}3 km/h às 11 h.

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