Questão 1. Uma mola com constate de elasticidade de 36 unidades de medida, tem uma de suas extremidades preza à parede e na outra extremidade foi fixado um corpo de massa 4 Kg , de modo que o objeto ainda fica apoiado em uma superfície horizontal. Assuma que o objeto foi deslocado em x metros e descreva o movimento x(t) do objeto em função do tempo t em cada um dos itens abaixo:
a) Assuma que a superfície está extremamente polida de modo que não apresente força de atrito.
b) Assuma que a superfície onde o objeto está apoiado ofereça uma força de atrito de 24 unidades de medida.
c) Sob as condições do item b), assuma ainda que existe uma força externa atuando sobre o processo dada por f(t)=\cos (2 t).

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola com constante elástica k=36 e massa m=4, apoiado sobre superfície horizontal. Estamos modelando o movimento x(t) a partir da segunda lei de Newton, obtendo uma equação diferencial linear de segunda ordem do tipo
m\,x''(t) + \text{(termos de força)} + k\,x(t) = \text{(forças externas)}.çç
Nos três itens vamos montar essa ODE incluindo amortecimento e/ou força externa, e resolver para x(t).

Passo 2

Item a) sem atrito: não há termo viscoso nem força externa, fica
4\,x''(t) + 36\,x(t) = 0.
Dividindo por 4:
x''(t) + 9\,x(t) = 0.
A equação característica é r^2 + 9 = 0, com raízes r=\pm 3\,i. Logo a solução geral é
x(t) = A\cos(3t) + B\sin(3t),
onde A e B dependem das condições iniciais.

Passo 3

Item b) com atrito viscoso de coeficiente c=24: o termo de amortecimento é c\,x'(t), e não há força externa, então
4\,x''(t) + 24\,x'(t) + 36\,x(t) = 0.
Dividindo por 4:
x''(t) + 6\,x'(t) + 9\,x(t) = 0.
A característica é r^2 + 6r + 9 = 0, raiz dupla r=-3. Assim
x(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^{-3t},
movimento criticamente amortecido, sem oscilações.

Passo 4

Item c) adicionando força externa f(t)=\cos(2t)\) sobre o caso amortecido do item b): \[4\,x''(t) + 24\,x'(t) + 36\,x(t) = \cos(2t).
Divide-se por 4:
x''(t) + 6\,x'(t) + 9\,x(t) = \frac{1}{4}\cos(2t).
A solução geral x(t)=x_{\text{h}}(t)+x_{\text{p}}(t) combina a homogênea x_{\text{h}}(t)=(C_1+C_2t)e^{-3t} e uma particular. Tomamos
x_{\text{p}}(t) = A\cos(2t) + B\sin(2t).
Derivando e substituindo em
x'' + 6x' + 9x = \tfrac14\cos(2t),
acha-se o sistema para A,B:
\begin{cases} 20\,A + 48\,B = \tfrac14,\\\\ -48\,A + 20\,B = 0. \end{cases}
Da segunda equação (B=\tfrac{48}{20}A=\tfrac{12}{5}A]. Substituindo na primeira
20A + 48\Bigl(\tfrac{12}{5}A\Bigr) = \tfrac14 \quad\Longrightarrow\quad A = \frac{5}{676}, \quad B = \frac{12}{676} = \frac{3}{169}.
Portanto
x_{\text{p}}(t) = \frac{5}{676}\cos(2t) + \frac{3}{169}\sin(2t),
e a solução completa é
x(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^{-3t} + \frac{5}{676}\cos(2t) + \frac{3}{169}\sin(2t).

Resposta

a) x(t) = A\cos(3t) + B\sin(3t).
b) x(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^{-3t}.
c) x(t) = (C_1 + C_2\,t)e^{-3t} + \displaystyle \frac{5}{676}\cos(2t) + \frac{3}{169}\sin(2t).

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