( 6 pontos) Usando cálculo diferencial, identifique assíntotas horizontais e verticais, o intervalo de crescimento e o intervalo de decrescimento, os pontos de máximo e mínimo local, os pontos de inflexão e os intervalos onde a função f(x)=x e^{x}+4 é concava para cima ou concava para baixo. Use essas informações para esbocar o gráfico da função.

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x)=x e^{x}+4,
que a gente use cálculo diferencial para encontrar suas assíntotas horizontais e verticais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de máximo e mínimo local, pontos de inflexão e intervalos de concavidade. Com isso, depois a gente esboça o gráfico. Vamos precisar de derivadas primeira e segunda e de limites de f(x) quando x\to\pm\infty.

Passo 2

Determinar domínio e assíntotas:
– O domínio de f é \mathbb{R}, logo não há assíntotas verticais.
– Para x\to+\infty, temos x e^x\to+\infty, então f(x)\to+\infty: sem assíntota horizontal por esse lado.
– Para x\to-\infty, x e^x\to0, então
\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}(x e^x+4)=0+4=4.
Portanto há assíntota horizontal y=4 quando x\to-\infty.

Passo 3

Calcular f'(x) e achar monotonicidade e extremos:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x e^x+4\bigr) =e^x + x e^x = e^x(1+x).
– Zera em x=-1. Como e^x>0 sempre, o sinal de f'(x) é o de (1+x):
f'(x)<0\quad\text{se }x<-1, \qquad f'(x)>0\quad\text{se }x>-1.
Logo f decresce em (-\infty,-1) e cresce em (-1,+\infty). Em x=-1 há um mínimo local com valor
f(-1)=(-1)e^{-1}+4=4-e^{-1}.
Não há máximo local.

Passo 4

Calcular f''(x) e achar concavidade e inflexão:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^x(1+x)\bigr) =e^x(1+x)+e^x =e^x(x+2).
– Zera em x=-2. Como e^x>0, o sinal é o de (x+2):
f''(x)<0\quad\text{se }x<-2, \qquad f''(x)>0\quad\text{se }x>-2.
Isso significa que f é côncava para baixo em (-\infty,-2) e côncava para cima em (-2,+\infty). O ponto de inflexão ocorre em x=-2, com
f(-2)=(-2)e^{-2}+4=4-2e^{-2}.

Passo 5

Com todas as informações, o esboço do gráfico de f é o seguinte:
– Para x\to-\infty, a curva se aproxima de y=4 por baixo.
– Desce até o ponto de inflexão em \bigl(-2,\,4-2e^{-2}\bigr), ainda curvando para baixo.
– Continua decrescendo até o mínimo local em \bigl(-1,\,4-e^{-1}\bigr).
– A partir de x=-1 cresce para +\infty, agora curvando para cima.

Resposta

Assíntotas: nenhuma vertical; horizontal y=4 quando x\to-\infty.
Crescimento: ( -1, +\infty ).
Decrescimento: ( -\infty, -1 ).
Mínimo local: em x=-1, valor f(-1)=4-e^{-1}.
Sem máximo local.
Ponto de inflexão: em x=-2, valor f(-2)=4-2e^{-2}.
Concavidade: côncava para baixo em ( -\infty, -2 ), côncava para cima em ( -2, +\infty ).
Esboço: curva que de y\approx4 (por baixo) em x\to-\infty decresce, inflexiona em -2, atinge mínimo em -1 e sobe indefinidamente.

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