( 6 pontos) Usando cálculo diferencial, identifique assíntotas horizontais e verticais, o intervalo de crescimento e o intervalo de decrescimento, os pontos de máximo e mínimo local, os pontos de inflexão e os intervalos onde a função
é concava para cima ou concava para baixo. Use essas informações para esbocar o gráfico da função.
Passo 1
O enunciado pede, para a função
que a gente use cálculo diferencial para encontrar suas assíntotas horizontais e verticais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de máximo e mínimo local, pontos de inflexão e intervalos de concavidade. Com isso, depois a gente esboça o gráfico. Vamos precisar de derivadas primeira e segunda e de limites de
quando
.
Passo 2
Determinar domínio e assíntotas:
– O domínio de é
, logo não há assíntotas verticais.
– Para , temos
, então
: sem assíntota horizontal por esse lado.
– Para ,
, então
– O domínio de
– Para
– Para
Portanto há assíntota horizontal
quando
.
Passo 3
Calcular
e achar monotonicidade e extremos:
– Zera em
. Como
sempre, o sinal de
é o de
:
Logo
decresce em
e cresce em
. Em
há um mínimo local com valor
Não há máximo local.
Passo 4
Calcular
e achar concavidade e inflexão:
– Zera em
. Como
, o sinal é o de
:
Isso significa que
é côncava para baixo em
e côncava para cima em
. O ponto de inflexão ocorre em
, com
Passo 5
Com todas as informações, o esboço do gráfico de
é o seguinte:
– Para , a curva se aproxima de
por baixo.
– Desce até o ponto de inflexão em , ainda curvando para baixo.
– Continua decrescendo até o mínimo local em .
– A partir de cresce para
, agora curvando para cima.
– Para
– Desce até o ponto de inflexão em
– Continua decrescendo até o mínimo local em
– A partir de
Resposta
Assíntotas: nenhuma vertical; horizontal
quando
.
Crescimento: .
Decrescimento: .
Mínimo local: em , valor
.
Sem máximo local.
Ponto de inflexão: em , valor
.
Concavidade: côncava para baixo em , côncava para cima em
.
Esboço: curva que de (por baixo) em
decresce, inflexiona em
, atinge mínimo em
e sobe indefinidamente.
Crescimento:
Decrescimento:
Mínimo local: em
Sem máximo local.
Ponto de inflexão: em
Concavidade: côncava para baixo em
Esboço: curva que de