Calcule a área limitada pelos gráficos das funções y=x^3-2 x e y=-x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área limitada pelos gráficos de y = x^3 - 2x e y = -x^2. O conteúdo envolve cálculo de áreas usando integrais definidas. Para resolver, vamos precisar achar os pontos de interseção das curvas, determinar qual função está acima em cada intervalo e montar as integrais da diferença.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção resolvendo x^3 - 2x = -x^2. Isso leva a
x^3 + x^2 - 2x = x(x^2 + x - 2) = 0 implies x = -2,;0,;1

Passo 3

Determinar qual curva fica acima em cada intervalo:
Para xin(-2,0), testando x=-1 temos x^3 - 2x = 1 > -1 = -x^2, então y = x^3 - 2x está acima;
Para xin(0,1), testando x=0,5 temos -x^2 = -0,25 > -0,875 = x^3 - 2x, então y = -x^2 está acima.

Passo 4

Escrever a área como soma de duas integrais definidas:
$$A = \int_{-2}{0}\bigl((x3 - 2x) - (-x^2)\bigr),dx ;+
  \int_{0}^{1}\bigl((-x^2) - (x^3 - 2x)\bigr)\,dx.$$

Passo 5

Calcular as primitivas e avaliar em cada intervalo: na primeira integral a integranda é x^3 + x^2 - 2x cuja primitiva é x^44 + x^33 - x^2, resultando de -2 a 0 o valor 8/3; na segunda a integranda é -x^3 - x^2 + 2x com primitiva -x^44 - x^33 + x^2, de 0 a 1 dando 5/12. Somando as áreas parciais, obtemos o valor total.
Somando 8/3 + 5/12 = 32/12 + 5/12 = 37/12.

Resposta

dfrac3712

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