Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para determinar o limite da função $ \frac{xy \cos(x)}{x^{2} + y^{2} + 1} $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0, 0) $. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites de Funções de Várias Variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como os limites funcionam quando temos duas variáveis e como analisar o comportamento da função próximo do ponto $ (0, 0) $.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o numerador da função: $ xy \cos(x) $. Sabemos que o cosseno de qualquer número é sempre entre -1 e 1, então $ \cos(x) $ está limitado nessa faixa. Além disso, tanto $ x $ quanto $ y $ estão se aproximando de 0, então o produto $ xy $ também está indo para 0.
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador: $ x^{2} + y^{2} + 1 $. Independentemente dos valores de $ x $ e $ y $, $ x^{2} $ e $ y^{2} $ são sempre positivos ou zero, então o menor valor que o denominador pode ter é 1 (quando $ x = 0 $ e $ y = 0 $).
Passo 4
Sabendo disso, podemos estimar o valor absoluto da função inteira:
Aqui, usamos que $ |\cos(x)| \leq 1 $.
Passo 5
Agora, precisamos ver o que acontece com $ |xy| $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0, 0) $. Como $ x $ e $ y $ estão indo para 0, o produto $ |xy| $ também vai para 0.
Passo 6
Aplicando o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem), já que $ \left| \frac{xy \cos(x)}{x^{2} + y^{2} + 1} \right| \leq |xy| $ e $ |xy| $ tende a 0, então o limite da função também deve ser 0.
Resposta
O limite é igual a $ 0 $.