Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x y cos (x)x^2+y^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para determinar o limite da função $ \frac{xy \cos(x)}{x^{2} + y^{2} + 1} $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0, 0) $. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites de Funções de Várias Variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como os limites funcionam quando temos duas variáveis e como analisar o comportamento da função próximo do ponto $ (0, 0) $.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador da função: $ xy \cos(x) $. Sabemos que o cosseno de qualquer número é sempre entre -1 e 1, então $ \cos(x) $ está limitado nessa faixa. Além disso, tanto $ x $ quanto $ y $ estão se aproximando de 0, então o produto $ xy $ também está indo para 0.

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador: $ x^{2} + y^{2} + 1 $. Independentemente dos valores de $ x $ e $ y $, $ x^{2} $ e $ y^{2} $ são sempre positivos ou zero, então o menor valor que o denominador pode ter é 1 (quando $ x = 0 $ e $ y = 0 $).

Passo 4

Sabendo disso, podemos estimar o valor absoluto da função inteira:
| xy cos(x)x^2 + y^2 + 1 | <= |xy| cdot |cos(x)|1 = |xy| cdot |cos(x)| <= |xy| cdot 1 = |xy|
Aqui, usamos que $ |\cos(x)| \leq 1 $.

Passo 5

Agora, precisamos ver o que acontece com $ |xy| $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0, 0) $. Como $ x $ e $ y $ estão indo para 0, o produto $ |xy| $ também vai para 0.

Passo 6

Aplicando o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem), já que $ \left| \frac{xy \cos(x)}{x^{2} + y^{2} + 1} \right| \leq |xy| $ e $ |xy| $ tende a 0, então o limite da função também deve ser 0.

Resposta

O limite é igual a $ 0 $.

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