Calcule a área limitada pela região que está abaixo do gráfico
e
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Queremos calcular a área da região que está abaixo do gráfico da função $ y = x - x^{3} $ no intervalo de $ x = 0 $ até $ x = 2 $. Para isso, vamos usar o conceito de integração, que é uma ferramenta da Cálculo Integral usada para encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde a função $ y = x - x^{3} $ está acima ou abaixo do eixo $ x $ nesse intervalo. Isso acontece onde a função é positiva ou negativa.
Vamos resolver $ y = 0 $:
No nosso intervalo de $ 0 \leq x \leq 2 $, os pontos onde a função cruza o eixo $ x $ são $ x = 0 $ e $ x = 1 $.
Passo 3
Agora, sabemos que entre $ x = 0 $ e $ x = 1
y > 0 $), e entre $ x = 1 $ e $ x = 2
y < 0 $). Para calcular a área total, vamos integrar separadamente nesses dois intervalos e somar os resultados tomando o valor absoluto onde for negativo.
A área $ A $ será:
Passo 4
Vamos calcular cada integral:
- Primeira integral:
- Segunda integral:
Passo 5
Agora, somamos as duas áreas:
Resposta
A área limitada pela região é $ \frac{5}{2} $ unidades de área.