Calcule a área limitada pela região que está abaixo do gráfico y=x-x^3 e 0 <= x <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Queremos calcular a área da região que está abaixo do gráfico da função $ y = x - x^{3} $ no intervalo de $ x = 0 $ até $ x = 2 $. Para isso, vamos usar o conceito de integração, que é uma ferramenta da Cálculo Integral usada para encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde a função $ y = x - x^{3} $ está acima ou abaixo do eixo $ x $ nesse intervalo. Isso acontece onde a função é positiva ou negativa.
Vamos resolver $ y = 0 $:
y = x - x^3
No nosso intervalo de $ 0 \leq x \leq 2 $, os pontos onde a função cruza o eixo $ x $ são $ x = 0 $ e $ x = 1 $.

Passo 3

Agora, sabemos que entre $ x = 0 $ e $ x = 1 x = 0 çãé y > 0 $), e entre $ x = 1 $ e $ x = 2 x = 1 é y < 0 $). Para calcular a área total, vamos integrar separadamente nesses dois intervalos e somar os resultados tomando o valor absoluto onde for negativo.
A área $ A $ será:
y > 0

Passo 4

Vamos calcular cada integral:
  1. Primeira integral:
integral0^1 (x - x^3) , dx = [ x^22 - x^44 ]0^1 = ( 12 - 14 ) - (0 - 0) = 14
  1. Segunda integral:
integral1^2 -(x - x^3) , dx = -[ x^22 - x^44 ]1^2 = -( ( 42 - 164 ) - ( 12 - 14 ) ) = -( (2 - 4) - (12 - 14) ) = -( -2 - 14 ) = 2 + 14 = 94

Passo 5

Agora, somamos as duas áreas:
A = 14 + 94 = 104 = 52

Resposta

A área limitada pela região é $ \frac{5}{2} $ unidades de área.

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