Domínios de funções de duas variáveis
Determine e represente graficamente os domínios das funções.
f(x, y)=raiz1-x-y.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre domínios de funções de duas variáveis. A função que vamos analisar é:
f(x, y) = raiz1 - x - y
Para resolver esse problema, precisamos determinar todos os pares (x, y) para os quais a função está definida. Isso envolve entender quando a expressão dentro da raiz quadrada é válida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que significa o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores das variáveis de entrada (neste caso, x e y) para os quais a função está definida.

Passo 3

A função que temos envolve uma raiz quadrada. Sabemos que a raiz quadrada de um número só está definida quando o número dentro da raiz é maior ou igual a zero. Portanto, para f(x, y) estar definida, a expressão dentro da raiz deve satisfazer:
1 - x - y >= 0

Passo 4

Vamos resolver essa desigualdade para encontrar as condições que x e y devem satisfazer:
1 - x - y >= 0 Rightarrow -x - y >= -1 Rightarrow x + y <= 1
Portanto, a soma de x e y deve ser menor ou igual a 1.

Passo 5

Agora, vamos representar graficamente o domínio encontrado. A inequação x + y <= 1 representa uma região no plano xy.
  • Primeiro, consideramos a equação de fronteira x + y = 1, que é uma reta que passa pelos pontos (1, 0) e (0, 1).
  • A desigualdade x + y <= 1 inclui todos os pontos abaixo e sobre essa reta.

Passo 6

Para ilustrar, podemos desenhar o gráfico:
  1. Desenhe o plano cartesiano com os eixos x e y.
  2. Trace a reta x + y = 1.
  3. Sombreie a região que está abaixo dessa reta, pois é onde x + y é menor ou igual a 1.
Essa área sombreada representa todos os pares (x, y) que pertencem ao domínio da função f(x, y).

Resposta

O domínio da função f(x, y) = raiz1 - x - y é o conjunto de todos os pares (x, y) que satisfazem a condição:
x + y <= 1
Graficamente, o domínio corresponde à região do plano xy situada abaixo e sobre a reta x + y = 1.

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