Domínios de funções de duas variáveis
Determine e represente graficamente os domínios das funções.
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Determine e represente graficamente os domínios das funções.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre domínios de funções de duas variáveis. A função que vamos analisar é:
Para resolver esse problema, precisamos determinar todos os pares
para os quais a função está definida. Isso envolve entender quando a expressão dentro da raiz quadrada é válida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que significa o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores das variáveis de entrada (neste caso,
e
) para os quais a função está definida.
Passo 3
A função que temos envolve uma raiz quadrada. Sabemos que a raiz quadrada de um número só está definida quando o número dentro da raiz é maior ou igual a zero. Portanto, para
estar definida, a expressão dentro da raiz deve satisfazer:
Passo 4
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar as condições que
e
devem satisfazer:
Portanto, a soma de
e
deve ser menor ou igual a 1.
Passo 5
Agora, vamos representar graficamente o domínio encontrado. A inequação
representa uma região no plano
.
- Primeiro, consideramos a equação de fronteira
, que é uma reta que passa pelos pontos e . - A desigualdade
inclui todos os pontos abaixo e sobre essa reta.
Passo 6
Para ilustrar, podemos desenhar o gráfico:
- Desenhe o plano cartesiano com os eixos
e . - Trace a reta
. - Sombreie a região que está abaixo dessa reta, pois é onde
é menor ou igual a 1.
Essa área sombreada representa todos os pares
que pertencem ao domínio da função
.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
que satisfazem a condição:
Graficamente, o domínio corresponde à região do plano
situada abaixo e sobre a reta
.