Calcule a área limitada por y=x^2 e a reta y=4 x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área limitada pelas curvas y=x^2 e y=4x. O conteúdo é cálculo de área entre curvas, que usa integração definida. Vamos precisar: encontrar os pontos de interseção, verificar qual função está acima no intervalo e montar a integral da diferença das funções.

Passo 2

Para achar onde as curvas se cruzam, igualamos x^2 = 4x. Isso dá
x^2 - 4x = 0 Longrightarrow x(x-4)=0
Logo, os pontos de interseção são x=0 e x=4.

Passo 3

Precisamos determinar qual curva está acima entre x=0 e x=4. Tomando um valor teste, por exemplo x=2:
4x=8e x^2=4,,
logo 4x> x^2 nesse intervalo. Portanto, y=4x é a função superior e y=x^2 a inferior.

Passo 4

A área entre as curvas de x=0 a x=4 é dada por
Área=integral0^4l(4x - x^2r),dxÁ

Passo 5

Agora, calculamos a integral:
integrall(4x - x^2r)dx = 2x^2 - x^33 + C

Passo 6

Avaliar de 0 a 4:
l[2x^2 - tfracx^33r]0^4 = l(2cdot4^2 - tfrac4^33r) - 0 = 32 - tfrac643 = tfrac96 - 643 = tfrac323

Resposta

tfrac323

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