Calcule a área limitada por
, e
, considerando
;
Passo 1
Resumo do enunciado: Queremos achar a área da região limitada pelas curvas y=1/x, y=x e 9y=x, para x>0. O conteúdo usado será integração para área entre curvas, e vamos ter que dividir a região em partes compatíveis com essas fronteiras.
Passo 2
Primeiro, determinamos os pontos de interseção: entre y=1/x e y=x temos x²=1 ⇒ x=1 (e y=1); entre y=1/x e 9y=x (ou y=x/9) temos x²=9 ⇒ x=3 (e y=1/3); as retas y=x e y=x/9 só se encontram em x=0.
Passo 3
Visualizando o domínio: para 0≤x≤1 a região fica entre as retas y=x/9 (inferior) e y=x (superior); para 1≤x≤3 a região fica entre a reta y=x/9 (inferior) e a hipérbola y=1/x (superior).
Passo 4
Área da primeira parte (0≤x≤1):
Passo 5
Área da segunda parte (1≤x≤3):
Passo 6
Somando as duas partes: A=A₁+A₂=4/9 + (ln3−4/9)=ln3.