Calcule a área limitada por y=1x, y=x, e 9 y=x, considerando x>0;

Passo 1

Resumo do enunciado: Queremos achar a área da região limitada pelas curvas y=1/x, y=x e 9y=x, para x>0. O conteúdo usado será integração para área entre curvas, e vamos ter que dividir a região em partes compatíveis com essas fronteiras.

Passo 2

Primeiro, determinamos os pontos de interseção: entre y=1/x e y=x temos x²=1 ⇒ x=1 (e y=1); entre y=1/x e 9y=x (ou y=x/9) temos x²=9 ⇒ x=3 (e y=1/3); as retas y=x e y=x/9 só se encontram em x=0.

Passo 3

Visualizando o domínio: para 0≤x≤1 a região fica entre as retas y=x/9 (inferior) e y=x (superior); para 1≤x≤3 a região fica entre a reta y=x/9 (inferior) e a hipérbola y=1/x (superior).

Passo 4

Área da primeira parte (0≤x≤1):
A1=integral0^1l(x - tfracx9r),dx=integral0^1tfrac8x9,dx=89cdotx^22|0^1=49

Passo 5

Área da segunda parte (1≤x≤3):
A2=integral1^3l(1x-x9r),dx=l[ln x-x^218r]1^3=l(ln3-tfrac918r)-l(0-tfrac118r)=ln3-tfrac818=ln3-tfrac49

Passo 6

Somando as duas partes: A=A₁+A₂=4/9 + (ln3−4/9)=ln3.

Resposta

ln3

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