Calcule a área limitada por y=1x^2, y=8 x e y=x8;

Passo 1

A questão pede a área da região limitada pelas curvas y=1/x^2, y=8x e y=x/8. Vamos usar interseções dessas curvas para fechar a região e depois calcular a área por integrais definidas.

Passo 2

Precisamos encontrar onde a hipérbole y=1/x^2 encontra cada reta:
1x^2=8ximplies x^3=18implies x=12, y=8cdottfrac12=4
1x^2=x8implies x^3=8implies x=2, y=28=14

Passo 3

Desenho mental: as retas passam pela origem, formando um “corte” em forma de cunha. A hipérbole cruza essas retas em x=1/2 e x=2. Para 0<= x<=1/2, a hipérbole fica acima da reta y=8x, então a região é entre as duas retas. Para 1/2<= x<=2, a reta inferior é y=x/8 e a fronteira superior é a hipérbole.

Passo 4

Montamos duas integrais em x:
A1=integral0^1/2l(8x-tfracx8r)dx,
A2=integral1/2^2l(1x^2-tfracx8r)dx
Calculando
A1=integral0^1/263x8dx=638cdotx^22|0^1/2=638cdot18=6364,
A2=l[-1xr]1/2^2-18l[x^22r]1/2^2 =l(-tfrac12+2r)-116l(4-tfrac14r)=32-1564=8164

Passo 5

Somando as duas parcelas:
A=A1+A2=6364+8164=14464=94

Resposta

9/4

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