f(x)=c x^2-2 x+12 x^2-2, se x<1 c^2 x^2-4, se 1 <= x <= 3 5 x+792, se x>3
b) Para quais valores de c temos f(x) contínua em x=1 ?

Passo 1

O enunciado define uma função por partes e pergunta para quais valores de c ela é contínua em x=1. O conteúdo envolve continuidade de funções definidas por partes, ou seja, a igualdade entre limite à esquerda, limite à direita (aqui o valor exato) e o valor da função no ponto de fronteira. Vamos precisar calcular o limite da parte x<1 quando xto1^- e igualar ao valor da parte 1<= x<=3 avaliado em x=1.

Passo 2

Para o limite à esquerda em x=1, considere a expressão da primeira parte e simplifique-a:
x^2-2x+12x^2-2 = (x-1)^22(x^2-1) = (x-1)^22(x-1)(x+1) = x-12(x+1), xneq1
Fazendo xto1 obtemos
limxto1^-f(x) = 1-12(1+1) = 0

Passo 3

O valor da função em x=1 vem da segunda parte: f(1)=c^2cdot1^2-4=c^2-4 Para garantir continuidade em x=1, precisamos de
limxto1^-f(x)=f(1) Longrightarrow 0 = c^2-4

Passo 4

Resolvendo c^2-4=0 c^2=4 e, portanto, c=2 ou c=-2.

Resposta

c = 2 ou c = -2

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