CALCULE A ÁREA LIMITADA POR:
PARÁBOLA
e eixo - X
PARÁBOLA
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
- A parábola definida por
. - As retas verticais
e . - O eixo
(ou seja, a reta ).
O que é pedido: - Calcular a área da região limitada pela parábola, pelas retas
e e pelo eixo .
Passo 2
Primeiro passo útil: identificar onde a parábola corta o eixo
(pontos em que
). Isso nos diz se a curva está acima ou abaixo do eixo no intervalo de interesse.
Resolver .
Resolver
Portanto as raízes são
e
. Logo a parábola intercepta o eixo
em
e em
.
Passo 3
Agora verificar o sinal de
no intervalo entre
e
, porque a fórmula da área depende de saber qual curva está “por cima”.
Calcular em
:
Calcular
Calcular
em
:
Como
e
, a parábola fica na posição \emph{acima} do eixo
no intervalo
(em
toca o eixo e para
é positiva). Isso significa que a região pedida é a área entre a curva
(topo) e a reta
(fundo), para
de
a
.
Passo 4
Explicando a ideia da integração (rápida aula para a prova): a área entre uma curva
e o eixo
, entre
e
, quando
no intervalo, é dada por
Aqui
,
,
. Se
estivesse negativa em partes teríamos que tomar o valor absoluto da contribuição (ou dividir o intervalo onde muda de sinal). Mas já vimos que
em
, então podemos aplicar diretamente.
Passo 5
Montar a integral para a área:
Vamos integrar termo a termo. Regra básica:
para
, e
para constante
. Aplicando isso:
Passo 6
Calcular a primitiva
de
:
Agora avaliar
em
e em
e subtrair:
Calcular :
Calcular
Calcular
:
Então a área é
Passo 7
Interpretação final e dica de prova: a área encontrada é
. Observação prática para exames: sempre verifique onde a curva cruza o eixo
; se houver cruzamento dentro do intervalo divida a integral. Aqui a curva cruza exatamente em
(um dos limites), por isso não foi necessário dividir o intervalo.