CALCULE A ÁREA LIMITADA POR:
PARÁBOLA y=x^{2}-2 x-3, x=3, x=4 e eixo - X

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • A parábola definida por y=x^{2}-2x-3.
  • As retas verticais x=3 e x=4.
  • O eixo x (ou seja, a reta y=0).
    O que é pedido:
  • Calcular a área da região limitada pela parábola, pelas retas x=3 e x=4 e pelo eixo x.

Passo 2

Primeiro passo útil: identificar onde a parábola corta o eixo x (pontos em que y=0). Isso nos diz se a curva está acima ou abaixo do eixo no intervalo de interesse.
Resolver x^{2}-2x-3=0.
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1)=0
Portanto as raízes são x=-1 e x=3. Logo a parábola intercepta o eixo x em x=-1 e em x=3.

Passo 3

Agora verificar o sinal de y no intervalo entre x=3 e x=4, porque a fórmula da área depende de saber qual curva está “por cima”.
Calcular y em x=3:
y(3)=3^{2}-2\cdot3-3=9-6-3=0.
Calcular y em x=4:
y(4)=4^{2}-2\cdot4-3=16-8-3=5.
Como y(3)=0 e y(4)=5>0, a parábola fica na posição \emph{acima} do eixo x no intervalo [3,4] (em x=3 toca o eixo e para x>3 é positiva). Isso significa que a região pedida é a área entre a curva y=x^{2}-2x-3 (topo) e a reta y=0 (fundo), para x de 3 a 4.

Passo 4

Explicando a ideia da integração (rápida aula para a prova): a área entre uma curva y=f(x) e o eixo x, entre x=a e x=b, quando f(x)\ge0 no intervalo, é dada por
\text{Área}=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.Á
Aqui f(x)=x^{2}-2x-3, a=3, b=4. Se f estivesse negativa em partes teríamos que tomar o valor absoluto da contribuição (ou dividir o intervalo onde muda de sinal). Mas já vimos que f\ge0 em [3,4], então podemos aplicar diretamente.

Passo 5

Montar a integral para a área:
\text{Área}=\int_{3}^{4}\bigl(x^{2}-2x-3\bigr)\,dx.Á
Vamos integrar termo a termo. Regra básica: \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1, e \int k\,dx=kx+C para constante k. Aplicando isso:

Passo 6

Calcular a primitiva F(x) de f(x)=x^{2}-2x-3:
F(x)=\int\bigl(x^{2}-2x-3\bigr)\,dx=\frac{x^{3}}{3}-x^{2}-3x.
Agora avaliar F em 4 e em 3 e subtrair:
Calcular F(4):
F(4)=\frac{4^{3}}{3}-4^{2}-3\cdot4=\frac{64}{3}-16-12=\frac{64}{3}-28=\frac{64-84}{3}=\frac{-20}{3}.
Calcular F(3):
F(3)=\frac{3^{3}}{3}-3^{2}-3\cdot3=\frac{27}{3}-9-9=9-18=-9=\frac{-27}{3}.
Então a área é
\text{Área}=F(4)-F(3)=\frac{-20}{3}-\left(\frac{-27}{3}\right)=\frac{-20+27}{3}=\frac{7}{3}.Á

Passo 7

Interpretação final e dica de prova: a área encontrada é \dfrac{7}{3}. Observação prática para exames: sempre verifique onde a curva cruza o eixo x; se houver cruzamento dentro do intervalo divida a integral. Aqui a curva cruza exatamente em x=3 (um dos limites), por isso não foi necessário dividir o intervalo.

Resposta

\dfrac{7}{3}

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