Calcule a área de B, onde B é regiào delimitada por x^2+y^2=2 x, x^2+y^2=4 x, y=x e y=0.

Passo 1

O enunciado pede a área da região B limitada pelas curvas
x^2+y^2=2x, x^2+y^2=4x, y=0, y=x
O conteúdo aqui é a mudança para coordenadas polares, em que x=rcostheta e y=rsintheta. Vamos precisar reescrever cada fronteira em polares e montar a integral dupla para calcular a área.

Passo 2

Reescrevendo as circunferências em polares:
  • x^2+y^2=2x vira
r^2=2rcosthetaLongrightarrow r=2costheta
  • x^2+y^2=4x vira
r^2=4rcosthetaLongrightarrow r=4costheta
As retas y=0 e y=x em polares são
y=0;Longrightarrow;theta=0, y=x;Longrightarrow;theta=pi4

Passo 3

Portanto a região B em coordenadas polares é descrita por
0<= theta <= pi4, 2costheta <= r <= 4costheta
A área em polares é dada por
integral duplaB dA =integraltheta=0^pi/4!!integralr=2costheta^4costheta r,dr,dtheta

Passo 4

Calculemos primeiro a integral em r:
integralr=2costheta^4costheta r,dr =r^22|2costheta^4costheta =12l((4costheta)^2-(2costheta)^2r) =12(16cos^2theta-4cos^2theta) =6cos^2theta

Passo 5

Agora a integral em theta:
integral0^pi/46cos^2theta,dtheta =6integral0^pi/41+cos(2theta)2,dtheta =3integral0^pi/4l(1+cos(2theta)r),dtheta
Calculando:
3[theta+sin(2theta)2]0^pi/4 =3l(pi4+sin(pi/2)2-0r) =3l(pi4+12r) =3pi4+32

Resposta

A área da região B é
boxed3pi4+32

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