Calcule as seguintes integrais:
integral2^6|x^2-3 x-4| d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral2^6l|x^2-3x-4r|,dx
O conteúdo envolvido é a integração de uma função polinomial dentro de valor absoluto. Para resolver, precisamos:
  1. Encontrar as raízes de x^2-3x-4 para saber onde o sinal muda.
  2. Quebrar a integral em intervalos onde o integrando é positivo ou negativo.
  3. Calcular a primitiva (antiderivada) de x^2-3x-4 e avaliar nos limites.

Passo 2

Fatorando o polinômio,
x^2-3x-4 = (x-4)(x+1),
as raízes são x=-1 e x=4. No intervalo de integração [2,6] só interessa x=4.
  • Para 2<= x<4, escolhemos x=3: 3^2-3cdot3-4=-4<0.
  • Para 4<x<=6, escolhemos x=5: 5^2-3cdot5-4=6>0.
Então
integral2^6l|x^2-3x-4r|,dx = -integral2^4l(x^2-3x-4r),dx ;+;integral4^6l(x^2-3x-4r),dx

Passo 3

Calculamos uma primitiva de x^2-3x-4. Chamando-a de F(x):
F(x) = integrall(x^2-3x-4r),dx = x^33-32x^2-4x

Passo 4

Avaliamo-la em 2 e 4:
F(4)=4^33-32,4^2-4cdot4 =643-24-16 =64-1203 =-563,
F(2)=2^33-32,2^2-4cdot2 =83-6-8 =8-423 =-343
Logo,
integral2^4l(x^2-3x-4r),dx =F(4)-F(2) =-563-l(-343r) =-223
Como o integrando é negativo ali, a área é -(valor acima):
-integral2^4l(x^2-3x-4r),dx =223

Passo 5

Agora em [4,6]:
F(6)=6^33-32,6^2-4cdot6 =72-54-24 =-6 =-183
Então
integral4^6l(x^2-3x-4r),dx =F(6)-F(4) =-183-l(-563r) =383

Passo 6

Somando as duas partes,
integral2^6l|x^2-3x-4r|,dx =223+383 =603 =20

Resposta

20

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