Use coordeoadas polares para calcular a área de
Bx y é a regiäo delimitada por x^2+y^2=2 x, x^2+y^2=4 x, y=x e y=0 éä

Passo 1

O enunciado pede a área da região B limitada pelas curvas
x^2+y^2=2x, x^2+y^2=4x, y=0, y=x
Vamos usar coordenadas polares, em que
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta

Passo 2

Convertemos as curvas em polares:
  • x^2+y^2=2x vira r^2=2rcostheta, ou seja
r = 2costheta
  • x^2+y^2=4x vira r^2=4rcostheta, ou seja
r = 4costheta
As retas y=0 e y=x viram
theta=0, theta=pi4

Passo 3

Logo, em coordenadas polares a região B é dada por
0<=theta<=pi4, 2costheta<= r<= 4costheta

Passo 4

Montamos o integral de área:
A = integraltheta=0^pi/4!integralr=2costheta^4costheta r,dr,dtheta

Passo 5

Primeiro integramos em r:
integral2costheta^4costheta r,dr = 12l[(4costheta)^2 - (2costheta)^2r] = 12(16cos^2theta - 4cos^2theta) =6cos^2theta
Então
A = integral0^pi/46cos^2theta,dtheta

Passo 6

Usamos a identidade cos^2theta=(1+cos2theta)/2:
A = 6integral0^pi/41+cos2theta2,dtheta =3integral0^pi/4(1+cos2theta),dtheta =3l[theta + tfrac12sin2thetar]0^pi/4 =3l(pi4 + 12r) =3pi4 + 32

Resposta

A área da região B é
3pi4 + 32

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