Calcule as seguintes integrais:
integral1^3(x-2x)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral1^3l(x - tfrac2xr)^2,dx
O conteúdo envolvido é integração de soma de potências de x. A estratégia será expandir o quadrado, integrar termo a termo e depois aplicar o teorema fundamental do cálculo.

Passo 2

Expandimos o integrando:
l(x - tfrac2xr)^2 = x^2 - 2cdot xcdottfrac2x + l(tfrac2xr)^2 = x^2 - 4 + tfrac4x^2

Passo 3

Integramos termo a termo uma primitiva F(x):
integral x^2,dx = tfracx^33, integral (-4),dx = -4x, integral tfrac4x^2,dx = 4integral x^-2,dx = 4l(-x^-1r) = -tfrac4x
Logo,
F(x) = tfracx^33 - 4x - tfrac4x + C

Passo 4

Agora avaliamos F(x) em x=3 e x=1:
F(3) = tfrac3^33 - 4cdot 3 - tfrac43 = 9 - 12 - tfrac43 = -3 - tfrac43 = -tfrac133,
F(1) = tfrac1^33 - 4cdot 1 - tfrac41 = tfrac13 - 4 - 4 = tfrac1 - 243 = -tfrac233
Pelo teorema fundamental do cálculo,
integral1^3l(x - tfrac2xr)^2,dx = F(3) - F(1) = -tfrac133 - l(-tfrac233r) = tfrac103

Resposta

103

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