Calcule a área do parabolóide de equação z=x^2+y^2 no interior da esfera x^2+y^2+z^2=6. [Dica: Coord. Cilíndricas.]

Passo 1

O exercício pede para calcular a área da parte do paraboloide de equação z = x^2 + y^2 que fica dentro da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 6. O conteúdo aqui é a fórmula de área de superfície z = f(x,y) e o uso de coordenadas cilíndricas para simplificar integrais.

Passo 2

Primeiro a gente determina a projeção D desse trecho no plano xy. Em coordenadas cilíndricas temos x = rcostheta, y = rsintheta, z = r^2. A condição de interseção com a esfera é
r^2 + (r^2)^2 = 6 ; Longrightarrow; r^4 + r^2 - 6 = 0
Fazendo u = r^2, fica u^2 + u - 6 = 0, que dá u = 2 (descartamos u=-3). Logo r varia de 0 a raiz2 e theta de 0 a 2pi.

Passo 3

Para a área de uma superfície z=f(x,y) usamos
A = integral duplaD raiz1 + fx^2 + fy^2,dA
Aqui fx = 2x e fy = 2y, então
1 + fx^2 + fy^2 = 1 + 4(x^2+y^2) = 1 + 4r^2
Em cilíndricas dA = r,dr,dtheta, logo
A = integral0^2piintegral0^raiz2 raiz1 + 4r^2;r,dr,dtheta

Passo 4

Agora calculamos a integral em r:
Troca de variável u = 1 + 4r^2 implica du = 8r,dr, ou r,dr = du/8. Quando r=0, u=1; quando r=raiz2, u=9. Então
integral0^raiz2 rraiz1+4r^2,dr = integral1^9 raizu;du8 = 18 cdot 23 l[u^3/2r]1^9 = 112(9^3/2 - 1) = 112(27 - 1) = 2612 = 136

Passo 5

Por fim, integramos em theta:
A = integral0^2pi 136,dtheta = 2pi cdot 136 = 13pi3

Resposta

13pi3

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