Calcule a área do parabolóide de equação
no interior da esfera
. [Dica: Coord. Cilíndricas.]
Passo 1
O exercício pede para calcular a área da parte do paraboloide de equação
que fica dentro da esfera
. O conteúdo aqui é a fórmula de área de superfície
e o uso de coordenadas cilíndricas para simplificar integrais.
Passo 2
Primeiro a gente determina a projeção
desse trecho no plano
. Em coordenadas cilíndricas temos
,
,
. A condição de interseção com a esfera é
Fazendo
, fica
, que dá
(descartamos
). Logo
varia de 0 a
e
de 0 a
.
Passo 3
Para a área de uma superfície
usamos
Aqui
e
, então
Em cilíndricas
, logo
Passo 4
Agora calculamos a integral em
:
Troca de variável implica
, ou
. Quando
,
; quando
,
. Então
Troca de variável
Passo 5
Por fim, integramos em
: