Derive e simplifique.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função composta y = sen(tg(√(1 + x³))), ou seja, vamos usar a regra da cadeia várias vezes para funções trigonométricas e radiciação.

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia na função externa sen(u):
A derivada de y em relação a x é
y' = cosl(tan(raiz1+x^3)r) cdot ddxl[tan(raiz1+x^3)r]

Passo 3

Agora derivamos v = tan(w) onde w = √(1 + x³). A regra da cadeia dá
ddxl[tan(w)r] = sec^2(w) cdot w'
Então
ddxl[tan(raiz1+x^3)r] = sec^2l(raiz1+x^3r) cdot ddxl[raiz1+x^3r]

Passo 4

Derivamos agora w = √(1 + x³) = (1 + x³)^{1/2}. Usando potência e cadeia:
w' = 12 (1 + x^3)^-1/2 cdot 3x^2 = 3x^22raiz1+x^3

Passo 5

Por fim, juntamos tudo:
y' = cosl(tan(raiz1+x^3)r) cdot sec^2l(raiz1+x^3r) cdot 3x^22raiz1+x^3
Isso já está simplificado, pois expressa claramente cada passo da regra da cadeia.

Resposta

y' = cosl(tan(raiz1+x^3)r) cdot sec^2l(raiz1+x^3r) cdot 3x^22raiz1+x^3

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